微积分学示例

$x^{8} e^{x} - 7$

解题步骤 1

将 $x^{8} e^{x} - 7$ 书写为一个函数。

$f (x) = x^{8} e^{x} - 7$

解题步骤 2

求函数的一阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{8} e^{x} - 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{8} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{8} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [x^{8} e^{x}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{8}$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$x^{8} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

解题步骤 2.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x^{8} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

解题步骤 2.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 8$ 。

$x^{8} e^{x} + e^{x} (8 x^{7}) + \frac{d}{d x} [- 7]$

解题步骤 2.3

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{8} e^{x} + e^{x} (8 x^{7}) + 0$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

将 $x^{8} e^{x} + e^{x} (8 x^{7})$ 和 $0$ 相加。

$x^{8} e^{x} + e^{x} (8 x^{7})$

解题步骤 2.4.2

重新排序项。

$e^{x} x^{8} + 8 e^{x} x^{7}$

解题步骤 2.4.3

将 $e^{x} x^{8} + 8 e^{x} x^{7}$ 中的因式重新排序。

$x^{8} e^{x} + 8 x^{7} e^{x}$

解题步骤 3

求函数的二阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $x^{8} e^{x} + 8 x^{7} e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{8} e^{x}] + \frac{d}{d x} [8 x^{7} e^{x}]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{8} e^{x}) + \frac{d}{d x} (8 x^{7} e^{x})$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [x^{8} e^{x}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{8}$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$f'' (x) = x^{8} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{8}) + \frac{d}{d x} (8 x^{7} e^{x})$

解题步骤 3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = x^{8} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{8}) + \frac{d}{d x} (8 x^{7} e^{x})$

解题步骤 3.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 8$ 。

$f'' (x) = x^{8} e^{x} + e^{x} (8 x^{7}) + \frac{d}{d x} (8 x^{7} e^{x})$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [8 x^{7} e^{x}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x^{7} e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x^{7} e^{x}]$ 。

$f'' (x) = x^{8} e^{x} + e^{x} (8 x^{7}) + 8 \frac{d}{d x} (x^{7} e^{x})$

解题步骤 3.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{7}$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$f'' (x) = x^{8} e^{x} + e^{x} (8 x^{7}) + 8 (x^{7} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{7}))$

解题步骤 3.3.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = x^{8} e^{x} + e^{x} (8 x^{7}) + 8 (x^{7} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{7}))$

解题步骤 3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 7$ 。

$f'' (x) = x^{8} e^{x} + e^{x} (8 x^{7}) + 8 (x^{7} e^{x} + e^{x} (7 x^{6}))$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

运用分配律。

$f'' (x) = x^{8} e^{x} + e^{x} (8 x^{7}) + 8 (x^{7} e^{x}) + 8 (e^{x} (7 x^{6}))$

解题步骤 3.4.2

合并项。

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解题步骤 3.4.2.1

将 $7$ 乘以 $8$ 。

$f'' (x) = x^{8} e^{x} + e^{x} (8 x^{7}) + 8 x^{7} e^{x} + 56 (e^{x} (x^{6}))$

解题步骤 3.4.2.2

将 $e^{x} (8 x^{7})$ 和 $8 x^{7} e^{x}$ 相加。

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解题步骤 3.4.2.2.1

移动 $e^{x}$ 。

$f'' (x) = x^{8} e^{x} + 8 x^{7} e^{x} + 8 x^{7} e^{x} + 56 e^{x} x^{6}$

解题步骤 3.4.2.2.2

将 $8 x^{7} e^{x}$ 和 $8 x^{7} e^{x}$ 相加。

$f'' (x) = x^{8} e^{x} + 16 x^{7} e^{x} + 56 e^{x} x^{6}$

解题步骤 3.4.3

重新排序项。

$f'' (x) = e^{x} x^{8} + 16 e^{x} x^{7} + 56 e^{x} x^{6}$

解题步骤 3.4.4

将 $e^{x} x^{8} + 16 e^{x} x^{7} + 56 e^{x} x^{6}$ 中的因式重新排序。

$f'' (x) = x^{8} e^{x} + 16 x^{7} e^{x} + 56 x^{6} e^{x}$

解题步骤 4

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$x^{8} e^{x} + 8 x^{7} e^{x} = 0$

解题步骤 5

求一阶导数。

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解题步骤 5.1

求一阶导数。

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解题步骤 5.1.1

根据加法法则， $x^{8} e^{x} - 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{8} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{8} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

解题步骤 5.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [x^{8} e^{x}]$ 。

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解题步骤 5.1.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{8}$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$x^{8} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

解题步骤 5.1.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x^{8} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

解题步骤 5.1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 8$ 。

$x^{8} e^{x} + e^{x} (8 x^{7}) + \frac{d}{d x} [- 7]$

解题步骤 5.1.3

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{8} e^{x} + e^{x} (8 x^{7}) + 0$

解题步骤 5.1.4

化简。

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解题步骤 5.1.4.1

将 $x^{8} e^{x} + e^{x} (8 x^{7})$ 和 $0$ 相加。

$x^{8} e^{x} + e^{x} (8 x^{7})$

解题步骤 5.1.4.2

重新排序项。

$e^{x} x^{8} + 8 e^{x} x^{7}$

解题步骤 5.1.4.3

将 $e^{x} x^{8} + 8 e^{x} x^{7}$ 中的因式重新排序。

$f' (x) = x^{8} e^{x} + 8 x^{7} e^{x}$

解题步骤 5.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $x^{8} e^{x} + 8 x^{7} e^{x}$ 。

$x^{8} e^{x} + 8 x^{7} e^{x}$

解题步骤 6

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $x^{8} e^{x} + 8 x^{7} e^{x} = 0$ 。

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解题步骤 6.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$x^{8} e^{x} + 8 x^{7} e^{x} = 0$

解题步骤 6.2

从 $x^{8} e^{x} + 8 x^{7} e^{x}$ 中分解出因数 $x^{7} e^{x}$ 。

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解题步骤 6.2.1

从 $x^{8} e^{x}$ 中分解出因数 $x^{7} e^{x}$ 。

$x^{7} e^{x} (x) + 8 x^{7} e^{x} = 0$

解题步骤 6.2.2

从 $8 x^{7} e^{x}$ 中分解出因数 $x^{7} e^{x}$ 。

$x^{7} e^{x} (x) + x^{7} e^{x} (8) = 0$

解题步骤 6.2.3

从 $x^{7} e^{x} (x) + x^{7} e^{x} (8)$ 中分解出因数 $x^{7} e^{x}$ 。

$x^{7} e^{x} (x + 8) = 0$

解题步骤 6.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{7} = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 8 = 0$

解题步骤 6.4

将 $x^{7}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.4.1

将 $x^{7}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{7} = 0$

解题步骤 6.4.2

求解 $x$ 的 $x^{7} = 0$ 。

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解题步骤 6.4.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \sqrt[7]{0}$

解题步骤 6.4.2.2

化简 $\sqrt[7]{0}$ 。

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解题步骤 6.4.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{7}$ 。

$x = \sqrt[7]{0^{7}}$

解题步骤 6.4.2.2.2

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$x = 0$

解题步骤 6.5

将 $e^{x}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.5.1

将 $e^{x}$ 设为等于 $0$ 。

$e^{x} = 0$

解题步骤 6.5.2

求解 $x$ 的 $e^{x} = 0$ 。

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解题步骤 6.5.2.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

解题步骤 6.5.2.2

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 6.5.2.3

$e^{x} = 0$ 无解

无解

解题步骤 6.6

将 $x + 8$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.6.1

将 $x + 8$ 设为等于 $0$ 。

$x + 8 = 0$

解题步骤 6.6.2

从等式两边同时减去 $8$ 。

$x = - 8$

解题步骤 6.7

最终解为使 $x^{7} e^{x} (x + 8) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - 8$

解题步骤 7

求使导数无意义的值。

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解题步骤 7.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 8

要计算的驻点。

$x = 0, - 8$

解题步骤 9

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

${(0)}^{8} e^{0} + 16 {(0)}^{7} e^{0} + 56 {(0)}^{6} e^{0}$

解题步骤 10

计算二阶导数。

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解题步骤 10.1

化简每一项。

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解题步骤 10.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 e^{0} + 16 {(0)}^{7} e^{0} + 56 {(0)}^{6} e^{0}$

解题步骤 10.1.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$0 \cdot 1 + 16 {(0)}^{7} e^{0} + 56 {(0)}^{6} e^{0}$

解题步骤 10.1.3

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$0 + 16 {(0)}^{7} e^{0} + 56 {(0)}^{6} e^{0}$

解题步骤 10.1.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 + 16 \cdot 0 e^{0} + 56 {(0)}^{6} e^{0}$

解题步骤 10.1.5

将 $16$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 e^{0} + 56 {(0)}^{6} e^{0}$

解题步骤 10.1.6

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$0 + 0 \cdot 1 + 56 {(0)}^{6} e^{0}$

解题步骤 10.1.7

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$0 + 0 + 56 {(0)}^{6} e^{0}$

解题步骤 10.1.8

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 + 0 + 56 \cdot 0 e^{0}$

解题步骤 10.1.9

将 $56$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 + 0 e^{0}$

解题步骤 10.1.10

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$0 + 0 + 0 \cdot 1$

解题步骤 10.1.11

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$0 + 0 + 0$

解题步骤 10.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 10.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 + 0$

解题步骤 10.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0$

解题步骤 11

因为至少有一个点是 $0$ 或使二阶导数无意义，所以使用一阶导数判别法。

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解题步骤 11.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, - 8) \cup (- 8, 0) \cup (0, \infty)$

解题步骤 11.2

将区间 $(- \infty, - 8)$ 内的任一数字（例如 $- 10$ ）代入一阶导数 $x^{8} e^{x} + 8 x^{7} e^{x}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 11.2.1

使用表达式中的 $- 10$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 10) = {(- 10)}^{8} e^{- 10} + 8 {(- 10)}^{7} e^{- 10}$

解题步骤 11.2.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.2.1.1

对 $- 10$ 进行 $8$ 次方运算。

$f' (- 10) = 100000000 e^{- 10} + 8 {(- 10)}^{7} e^{- 10}$

解题步骤 11.2.2.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f' (- 10) = 100000000 (\frac{1}{e^{10}}) + 8 {(- 10)}^{7} e^{- 10}$

解题步骤 11.2.2.1.3

组合 $100000000$ 和 $\frac{1}{e^{10}}$ 。

$f' (- 10) = \frac{100000000}{e^{10}} + 8 {(- 10)}^{7} e^{- 10}$

解题步骤 11.2.2.1.4

对 $- 10$ 进行 $7$ 次方运算。

$f' (- 10) = \frac{100000000}{e^{10}} + 8 \cdot (- 10000000 e^{- 10})$

解题步骤 11.2.2.1.5

将 $8$ 乘以 $- 10000000$ 。

$f' (- 10) = \frac{100000000}{e^{10}} - 80000000 e^{- 10}$

解题步骤 11.2.2.1.6

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f' (- 10) = \frac{100000000}{e^{10}} - 80000000 \frac{1}{e^{10}}$

解题步骤 11.2.2.1.7

组合 $- 80000000$ 和 $\frac{1}{e^{10}}$ 。

$f' (- 10) = \frac{100000000}{e^{10}} + \frac{- 80000000}{e^{10}}$

解题步骤 11.2.2.1.8

将负号移到分数的前面。

$f' (- 10) = \frac{100000000}{e^{10}} - \frac{80000000}{e^{10}}$

解题步骤 11.2.2.2

合并分数。

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解题步骤 11.2.2.2.1

在公分母上合并分子。

$f' (- 10) = \frac{100000000 - 80000000}{e^{10}}$

解题步骤 11.2.2.2.2

从 $100000000$ 中减去 $80000000$ 。

$f' (- 10) = \frac{20000000}{e^{10}}$

解题步骤 11.2.2.3

最终答案为 $\frac{20000000}{e^{10}}$ 。

$\frac{20000000}{e^{10}}$

解题步骤 11.3

将区间 $(- 8, 0)$ 内的任一数字（例如 $- 4$ ）代入一阶导数 $x^{8} e^{x} + 8 x^{7} e^{x}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 11.3.1

使用表达式中的 $- 4$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 4) = {(- 4)}^{8} e^{- 4} + 8 {(- 4)}^{7} e^{- 4}$

解题步骤 11.3.2

化简结果。

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解题步骤 11.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.3.2.1.1

对 $- 4$ 进行 $8$ 次方运算。

$f' (- 4) = 65536 e^{- 4} + 8 {(- 4)}^{7} e^{- 4}$

解题步骤 11.3.2.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f' (- 4) = 65536 (\frac{1}{e^{4}}) + 8 {(- 4)}^{7} e^{- 4}$

解题步骤 11.3.2.1.3

组合 $65536$ 和 $\frac{1}{e^{4}}$ 。

$f' (- 4) = \frac{65536}{e^{4}} + 8 {(- 4)}^{7} e^{- 4}$

解题步骤 11.3.2.1.4

对 $- 4$ 进行 $7$ 次方运算。

$f' (- 4) = \frac{65536}{e^{4}} + 8 \cdot (- 16384 e^{- 4})$

解题步骤 11.3.2.1.5

将 $8$ 乘以 $- 16384$ 。

$f' (- 4) = \frac{65536}{e^{4}} - 131072 e^{- 4}$

解题步骤 11.3.2.1.6

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f' (- 4) = \frac{65536}{e^{4}} - 131072 \frac{1}{e^{4}}$

解题步骤 11.3.2.1.7

组合 $- 131072$ 和 $\frac{1}{e^{4}}$ 。

$f' (- 4) = \frac{65536}{e^{4}} + \frac{- 131072}{e^{4}}$

解题步骤 11.3.2.1.8

将负号移到分数的前面。

$f' (- 4) = \frac{65536}{e^{4}} - \frac{131072}{e^{4}}$

解题步骤 11.3.2.2

合并分数。

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解题步骤 11.3.2.2.1

在公分母上合并分子。

$f' (- 4) = \frac{65536 - 131072}{e^{4}}$

解题步骤 11.3.2.2.2

化简表达式。

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解题步骤 11.3.2.2.2.1

从 $65536$ 中减去 $131072$ 。

$f' (- 4) = \frac{- 65536}{e^{4}}$

解题步骤 11.3.2.2.2.2

将负号移到分数的前面。

$f' (- 4) = - \frac{65536}{e^{4}}$

解题步骤 11.3.2.3

最终答案为 $- \frac{65536}{e^{4}}$ 。

$- \frac{65536}{e^{4}}$

解题步骤 11.4

将区间 $(0, \infty)$ 内的任一数字（例如 $2$ ）代入一阶导数 $x^{8} e^{x} + 8 x^{7} e^{x}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 11.4.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (2) = {(2)}^{8} e^{2} + 8 {(2)}^{7} e^{2}$

解题步骤 11.4.2

化简结果。

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解题步骤 11.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.4.2.1.1

对 $2$ 进行 $8$ 次方运算。

$f' (2) = 256 e^{2} + 8 {(2)}^{7} e^{2}$

解题步骤 11.4.2.1.2

对 $2$ 进行 $7$ 次方运算。

$f' (2) = 256 e^{2} + 8 \cdot (128 e^{2})$

解题步骤 11.4.2.1.3

将 $8$ 乘以 $128$ 。

$f' (2) = 256 e^{2} + 1024 e^{2}$

解题步骤 11.4.2.2

将 $256 e^{2}$ 和 $1024 e^{2}$ 相加。

$f' (2) = 1280 e^{2}$

解题步骤 11.4.2.3

最终答案为 $1280 e^{2}$ 。

$1280 e^{2}$

解题步骤 11.5

由于一阶导数在 $x = - 8$ 周围从正号变为负号，因此 $x = - 8$ 是极大值。

$x = - 8$ 是一个极大值

解题步骤 11.6

由于一阶导数在 $x = 0$ 周围从负号变为正号，因此 $x = 0$ 是极小值。

$x = 0$ 是一个极小值

解题步骤 11.7

这些是 $f (x) = x^{8} e^{x} - 7$ 的局部极值。

$x = - 8$ 是一个极大值

$x = 0$ 是一个极小值

$x = - 8$ 是一个极大值

$x = 0$ 是一个极小值

解题步骤 12

微积分学 示例

微积分学示例