微积分学示例

$x^{3} - 14 x^{2} + 49 x$

解题步骤 1

将 $x^{3} - 14 x^{2} + 49 x$ 书写为一个函数。

$f (x) = x^{3} - 14 x^{2} + 49 x$

解题步骤 2

求函数的一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $x^{3} - 14 x^{2} + 49 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 14 x^{2}] + \frac{d}{d x} [49 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 14 x^{2}] + \frac{d}{d x} [49 x]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 14 x^{2}] + \frac{d}{d x} [49 x]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 14 x^{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

因为 $- 14$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 14 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 14 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$3 x^{2} - 14 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49 x]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 x^{2} - 14 (2 x) + \frac{d}{d x} [49 x]$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $- 14$ 。

$3 x^{2} - 28 x + \frac{d}{d x} [49 x]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [49 x]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

因为 $49$ 对于 $x$ 是常数，所以 $49 x$ 对 $x$ 的导数是 $49 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 x^{2} - 28 x + 49 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 x^{2} - 28 x + 49 \cdot 1$

解题步骤 2.3.3

将 $49$ 乘以 $1$ 。

$3 x^{2} - 28 x + 49$

解题步骤 3

求函数的二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

根据加法法则， $3 x^{2} - 28 x + 49$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 28 x] + \frac{d}{d x} [49]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 28 x) + \frac{d}{d x} (49)$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 28 x) + \frac{d}{d x} (49)$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 28 x) + \frac{d}{d x} (49)$

解题步骤 3.2.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 28 x) + \frac{d}{d x} (49)$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 28 x]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

因为 $- 28$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 28 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 28 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 6 x - 28 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (49)$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 6 x - 28 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (49)$

解题步骤 3.3.3

将 $- 28$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 6 x - 28 + \frac{d}{d x} (49)$

解题步骤 3.4

使用常数法则求导。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1

因为 $49$ 对于 $x$ 是常数，所以 $49$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 6 x - 28 + 0$

解题步骤 3.4.2

将 $6 x - 28$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 6 x - 28$

解题步骤 4

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$3 x^{2} - 28 x + 49 = 0$

解题步骤 5

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.1

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.1.1

根据加法法则， $x^{3} - 14 x^{2} + 49 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 14 x^{2}] + \frac{d}{d x} [49 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 14 x^{2}] + \frac{d}{d x} [49 x]$

解题步骤 5.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 14 x^{2}] + \frac{d}{d x} [49 x]$

解题步骤 5.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 14 x^{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.2.1

因为 $- 14$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 14 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 14 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$3 x^{2} - 14 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49 x]$

解题步骤 5.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 x^{2} - 14 (2 x) + \frac{d}{d x} [49 x]$

解题步骤 5.1.2.3

将 $2$ 乘以 $- 14$ 。

$3 x^{2} - 28 x + \frac{d}{d x} [49 x]$

解题步骤 5.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [49 x]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.3.1

因为 $49$ 对于 $x$ 是常数，所以 $49 x$ 对 $x$ 的导数是 $49 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 x^{2} - 28 x + 49 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 x^{2} - 28 x + 49 \cdot 1$

解题步骤 5.1.3.3

将 $49$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 28 x + 49$

解题步骤 5.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $3 x^{2} - 28 x + 49$ 。

$3 x^{2} - 28 x + 49$

解题步骤 6

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $3 x^{2} - 28 x + 49 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$3 x^{2} - 28 x + 49 = 0$

解题步骤 6.2

分组因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 3 \cdot 49 = 147$ 并且它们的和为 $b = - 28$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1.1

从 $- 28 x$ 中分解出因数 $- 28$ 。

$3 x^{2} - 28 x + 49 = 0$

解题步骤 6.2.1.2

把 $- 28$ 重写为 $- 7$ 加 $- 21$

$3 x^{2} + (- 7 - 21) x + 49 = 0$

解题步骤 6.2.1.3

运用分配律。

$3 x^{2} - 7 x - 21 x + 49 = 0$

解题步骤 6.2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(3 x^{2} - 7 x) - 21 x + 49 = 0$

解题步骤 6.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$x (3 x - 7) - 7 (3 x - 7) = 0$

解题步骤 6.2.3

通过因式分解出最大公因数 $3 x - 7$ 来因式分解多项式。

$(3 x - 7) (x - 7) = 0$

解题步骤 6.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$3 x - 7 = 0$

$x - 7 = 0$

解题步骤 6.4

将 $3 x - 7$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.4.1

将 $3 x - 7$ 设为等于 $0$ 。

$3 x - 7 = 0$

解题步骤 6.4.2

求解 $x$ 的 $3 x - 7 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.4.2.1

在等式两边都加上 $7$ 。

$3 x = 7$

解题步骤 6.4.2.2

将 $3 x = 7$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.4.2.2.1

将 $3 x = 7$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

解题步骤 6.4.2.2.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.4.2.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

解题步骤 6.4.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{7}{3}$

解题步骤 6.5

将 $x - 7$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.5.1

将 $x - 7$ 设为等于 $0$ 。

$x - 7 = 0$

解题步骤 6.5.2

在等式两边都加上 $7$ 。

$x = 7$

解题步骤 6.6

最终解为使 $(3 x - 7) (x - 7) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{7}{3}, 7$

解题步骤 7

求使导数无意义的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 8

要计算的驻点。

$x = \frac{7}{3}, 7$

解题步骤 9

计算在 $x = \frac{7}{3}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$6 (\frac{7}{3}) - 28$

解题步骤 10

计算二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.1.1

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.1.1.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (2) \frac{7}{3} - 28$

解题步骤 10.1.1.2

约去公因数。

$3 \cdot 2 \frac{7}{3} - 28$

解题步骤 10.1.1.3

重写表达式。

$2 \cdot 7 - 28$

解题步骤 10.1.2

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$14 - 28$

解题步骤 10.2

从 $14$ 中减去 $28$ 。

$- 14$

解题步骤 11

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = \frac{7}{3}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{7}{3}$ 是一个极大值

解题步骤 12

求 $x = \frac{7}{3}$ 时的 y 值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1

使用表达式中的 $\frac{7}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{7}{3}) = {(\frac{7}{3})}^{3} - 14 {(\frac{7}{3})}^{2} + 49 (\frac{7}{3})$

解题步骤 12.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.2.1.1

对 $\frac{7}{3}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{7}{3}) = \frac{7^{3}}{3^{3}} - 14 {(\frac{7}{3})}^{2} + 49 (\frac{7}{3})$

解题步骤 12.2.1.2

对 $7$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{3^{3}} - 14 {(\frac{7}{3})}^{2} + 49 (\frac{7}{3})$

解题步骤 12.2.1.3

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} - 14 {(\frac{7}{3})}^{2} + 49 (\frac{7}{3})$

解题步骤 12.2.1.4

对 $\frac{7}{3}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} - 14 \frac{7^{2}}{3^{2}} + 49 (\frac{7}{3})$

解题步骤 12.2.1.5

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} - 14 \frac{49}{3^{2}} + 49 (\frac{7}{3})$

解题步骤 12.2.1.6

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} - 14 (\frac{49}{9}) + 49 (\frac{7}{3})$

解题步骤 12.2.1.7

乘以 $- 14 (\frac{49}{9})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.2.1.7.1

组合 $- 14$ 和 $\frac{49}{9}$ 。

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} + \frac{- 14 \cdot 49}{9} + 49 (\frac{7}{3})$

解题步骤 12.2.1.7.2

将 $- 14$ 乘以 $49$ 。

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} + \frac{- 686}{9} + 49 (\frac{7}{3})$

解题步骤 12.2.1.8

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} - \frac{686}{9} + 49 (\frac{7}{3})$

解题步骤 12.2.1.9

乘以 $49 (\frac{7}{3})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.2.1.9.1

组合 $49$ 和 $\frac{7}{3}$ 。

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} - \frac{686}{9} + \frac{49 \cdot 7}{3}$

解题步骤 12.2.1.9.2

将 $49$ 乘以 $7$ 。

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} - \frac{686}{9} + \frac{343}{3}$

解题步骤 12.2.2

求公分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.2.2.1

将 $\frac{686}{9}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} - (\frac{686}{9} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{343}{3}$

解题步骤 12.2.2.2

将 $\frac{686}{9}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} - \frac{686 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{343}{3}$

解题步骤 12.2.2.3

将 $\frac{343}{3}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} - \frac{686 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{343}{3} \cdot \frac{9}{9}$

解题步骤 12.2.2.4

将 $\frac{343}{3}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} - \frac{686 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{343 \cdot 9}{3 \cdot 9}$

解题步骤 12.2.2.5

重新排序 $9 \cdot 3$ 的因式。

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} - \frac{686 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{343 \cdot 9}{3 \cdot 9}$

解题步骤 12.2.2.6

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} - \frac{686 \cdot 3}{27} + \frac{343 \cdot 9}{3 \cdot 9}$

解题步骤 12.2.2.7

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343}{27} - \frac{686 \cdot 3}{27} + \frac{343 \cdot 9}{27}$

解题步骤 12.2.3

在公分母上合并分子。

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343 - 686 \cdot 3 + 343 \cdot 9}{27}$

解题步骤 12.2.4

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.2.4.1

将 $- 686$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343 - 2058 + 343 \cdot 9}{27}$

解题步骤 12.2.4.2

将 $343$ 乘以 $9$ 。

$f (\frac{7}{3}) = \frac{343 - 2058 + 3087}{27}$

解题步骤 12.2.5

通过相加和相减进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.2.5.1

从 $343$ 中减去 $2058$ 。

$f (\frac{7}{3}) = \frac{- 1715 + 3087}{27}$

解题步骤 12.2.5.2

将 $- 1715$ 和 $3087$ 相加。

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1372}{27}$

解题步骤 12.2.6

最终答案为 $\frac{1372}{27}$ 。

$y = \frac{1372}{27}$

解题步骤 13

计算在 $x = 7$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$6 (7) - 28$

解题步骤 14

计算二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.1

将 $6$ 乘以 $7$ 。

$42 - 28$

解题步骤 14.2

从 $42$ 中减去 $28$ 。

$14$

解题步骤 15

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 7$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 7$ 是一个极小值

解题步骤 16

求 $x = 7$ 时的 y 值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.1

使用表达式中的 $7$ 替换变量 $x$ 。

$f (7) = {(7)}^{3} - 14 {(7)}^{2} + 49 (7)$

解题步骤 16.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.2.1.1

对 $7$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (7) = 343 - 14 {(7)}^{2} + 49 (7)$

解题步骤 16.2.1.2

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (7) = 343 - 14 \cdot 49 + 49 (7)$

解题步骤 16.2.1.3

将 $- 14$ 乘以 $49$ 。

$f (7) = 343 - 686 + 49 (7)$

解题步骤 16.2.1.4

将 $49$ 乘以 $7$ 。

$f (7) = 343 - 686 + 343$

解题步骤 16.2.2

通过相加和相减进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.2.2.1

从 $343$ 中减去 $686$ 。

$f (7) = - 343 + 343$

解题步骤 16.2.2.2

将 $- 343$ 和 $343$ 相加。

$f (7) = 0$

解题步骤 16.2.3

最终答案为 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 17

这些是 $f (x) = x^{3} - 14 x^{2} + 49 x$ 的局部极值。

$(\frac{7}{3}, \frac{1372}{27})$ 是一个局部最大值

$(7, 0)$ 是一个局部最小值

解题步骤 18

微积分学 示例

微积分学示例