微积分学示例

$f (y) = 4 x^{2} - 2 y^{3} + 24 x + 24 y - 35$

解题步骤 1

求微分。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $4 x^{2} - 2 y^{3} + 24 x + 24 y - 35$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{3}] + \frac{d}{d y} [24 x] + \frac{d}{d y} [24 y] + \frac{d}{d y} [- 35]$ 。

$\frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{3}] + \frac{d}{d y} [24 x] + \frac{d}{d y} [24 y] + \frac{d}{d y} [- 35]$

解题步骤 1.2

因为 $4 x^{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $4 x^{2}$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d y} [- 2 y^{3}] + \frac{d}{d y} [24 x] + \frac{d}{d y} [24 y] + \frac{d}{d y} [- 35]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d y} [- 2 y^{3}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $- 2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 2 y^{3}$ 对 $y$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ 。

$0 - 2 \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [24 x] + \frac{d}{d y} [24 y] + \frac{d}{d y} [- 35]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$0 - 2 (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [24 x] + \frac{d}{d y} [24 y] + \frac{d}{d y} [- 35]$

解题步骤 2.3

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$0 - 6 y^{2} + \frac{d}{d y} [24 x] + \frac{d}{d y} [24 y] + \frac{d}{d y} [- 35]$

解题步骤 3

因为 $24 x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $24 x$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0 - 6 y^{2} + 0 + \frac{d}{d y} [24 y] + \frac{d}{d y} [- 35]$

解题步骤 4

计算 $\frac{d}{d y} [24 y]$ 。

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解题步骤 4.1

因为 $24$ 对于 $y$ 是常数，所以 $24 y$ 对 $y$ 的导数是 $24 \frac{d}{d y} [y]$ 。

$0 - 6 y^{2} + 0 + 24 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 35]$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - 6 y^{2} + 0 + 24 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 35]$

解题步骤 4.3

将 $24$ 乘以 $1$ 。

$0 - 6 y^{2} + 0 + 24 + \frac{d}{d y} [- 35]$

解题步骤 5

因为 $- 35$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 35$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0 - 6 y^{2} + 0 + 24 + 0$

解题步骤 6

合并项。

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解题步骤 6.1

从 $0$ 中减去 $6 y^{2}$ 。

$- 6 y^{2} + 0 + 24 + 0$

解题步骤 6.2

将 $- 6 y^{2}$ 和 $0$ 相加。

$- 6 y^{2} + 24 + 0$

解题步骤 6.3

将 $- 6 y^{2} + 24$ 和 $0$ 相加。

$- 6 y^{2} + 24$

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