微积分学示例

$\arctan (\frac{x + y}{1 - x y})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = \arctan (y)$ 且 $g (y) = \frac{x + y}{1 - x y}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x + y}{1 - x y}$ 。

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d y} [\frac{x + y}{1 - x y}]$

解题步骤 1.2

$\arctan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 。

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d y} [\frac{x + y}{1 - x y}]$

解题步骤 1.3

使用 $\frac{x + y}{1 - x y}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \frac{d}{d y} [\frac{x + y}{1 - x y}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ 等于 $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ，其中 $f (y) = x + y$ 且 $g (y) = 1 - x y$ 。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x y) \frac{d}{d y} [x + y] - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $x + y$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x y) (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]) - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

解题步骤 3.2

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x y) (0 + \frac{d}{d y} [y]) - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

解题步骤 3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d y} [y]$ 相加。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x y) \frac{d}{d y} [y] - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x y) \cdot 1 - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

解题步骤 3.5

将 $1 - x y$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

解题步骤 3.6

根据加法法则， $1 - x y$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x y]$ 。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y - (x + y) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x y])}{{(1 - x y)}^{2}}$

解题步骤 3.7

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y - (x + y) (0 + \frac{d}{d y} [- x y])}{{(1 - x y)}^{2}}$

解题步骤 3.8

将 $0$ 和 $\frac{d}{d y} [- x y]$ 相加。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y - (x + y) \frac{d}{d y} [- x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

解题步骤 3.9

因为 $- x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- x y$ 对 $y$ 的导数是 $- x \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y - (x + y) (- x \frac{d}{d y} [y])}{{(1 - x y)}^{2}}$

解题步骤 3.10

乘。

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解题步骤 3.10.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y + 1 (x + y) (x \frac{d}{d y} [y])}{{(1 - x y)}^{2}}$

解题步骤 3.10.2

将 $x + y$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y + (x + y) (x \frac{d}{d y} [y])}{{(1 - x y)}^{2}}$

解题步骤 3.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y + (x + y) x \cdot 1}{{(1 - x y)}^{2}}$

解题步骤 3.12

合并分数。

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解题步骤 3.12.1

将 $x + y$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y + x \cdot (x + y)}{{(1 - x y)}^{2}}$

解题步骤 3.12.2

将 $\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}}$ 乘以 $\frac{1 - x y + x (x + y)}{{(1 - x y)}^{2}}$ 。

$\frac{1 - x y + x (x + y)}{(1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}) {(1 - x y)}^{2}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

对 $\frac{x + y}{1 - x y}$ 运用乘积法则。

$\frac{1 - x y + x (x + y)}{(1 + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$\frac{1 - x y + x \cdot x + x y}{(1 + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

解题步骤 4.3

化简分子。

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解题步骤 4.3.1

合并 $1 - x y + x \cdot x + x y$ 中相反的项。

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解题步骤 4.3.1.1

将 $- x y$ 和 $x y$ 相加。

$\frac{1 + x \cdot x + 0}{(1 + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.2

将 $1 + x \cdot x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1 + x \cdot x}{(1 + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

解题步骤 4.3.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{1 + x^{2}}{(1 + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

解题步骤 4.4

合并项。

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解题步骤 4.4.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{1 + x^{2}}{(\frac{{(1 - x y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}} + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

解题步骤 4.4.2

在公分母上合并分子。

$\frac{1 + x^{2}}{\frac{{(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}} {(1 - x y)}^{2}}$

解题步骤 4.4.3

组合 $\frac{{(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}$ 和 ${(1 - x y)}^{2}$ 。

$\frac{1 + x^{2}}{\frac{({(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}) {(1 - x y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}}$

解题步骤 4.4.4

约去 ${(1 - x y)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.4.1

约去公因数。

$\frac{1 + x^{2}}{\frac{({(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}) {(1 - x y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}}$

解题步骤 4.4.4.2

用 ${(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}$ 除以 $1$ 。

$\frac{1 + x^{2}}{{(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}}$

解题步骤 4.5

重新排序项。

$\frac{x^{2} + 1}{{(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}}$

解题步骤 4.6

化简分母。

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解题步骤 4.6.1

将 ${(1 - x y)}^{2}$ 重写为 $(1 - x y) (1 - x y)$ 。

$\frac{x^{2} + 1}{(1 - x y) (1 - x y) + {(x + y)}^{2}}$

解题步骤 4.6.2

使用 FOIL 方法展开 $(1 - x y) (1 - x y)$ 。

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解题步骤 4.6.2.1

运用分配律。

$\frac{x^{2} + 1}{1 (1 - x y) - x y (1 - x y) + {(x + y)}^{2}}$

解题步骤 4.6.2.2

运用分配律。

$\frac{x^{2} + 1}{1 \cdot 1 + 1 (- x y) - x y (1 - x y) + {(x + y)}^{2}}$

解题步骤 4.6.2.3

运用分配律。

$\frac{x^{2} + 1}{1 \cdot 1 + 1 (- x y) - x y \cdot 1 - x y (- x y) + {(x + y)}^{2}}$

解题步骤 4.6.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.6.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.6.3.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2} + 1}{1 + 1 (- x y) - x y \cdot 1 - x y (- x y) + {(x + y)}^{2}}$

解题步骤 4.6.3.1.2

将 $- x y$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y \cdot 1 - x y (- x y) + {(x + y)}^{2}}$

解题步骤 4.6.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y - x y (- x y) + {(x + y)}^{2}}$

解题步骤 4.6.3.1.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.6.3.1.4.1

移动 $x$ 。

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y - (x \cdot x) y (- 1 y) + {(x + y)}^{2}}$

解题步骤 4.6.3.1.4.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y - x^{2} y (- 1 y) + {(x + y)}^{2}}$

解题步骤 4.6.3.1.5

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 4.6.3.1.5.1

移动 $y$ 。

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y - x^{2} (y \cdot y) \cdot - 1 + {(x + y)}^{2}}$

解题步骤 4.6.3.1.5.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y - x^{2} y^{2} \cdot - 1 + {(x + y)}^{2}}$

解题步骤 4.6.3.1.6

乘以 $- x^{2} y^{2} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 4.6.3.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y + 1 x^{2} y^{2} + {(x + y)}^{2}}$

解题步骤 4.6.3.1.6.2

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y + x^{2} y^{2} + {(x + y)}^{2}}$

解题步骤 4.6.3.2

从 $- x y$ 中减去 $x y$ 。

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + {(x + y)}^{2}}$

解题步骤 4.6.4

将 ${(x + y)}^{2}$ 重写为 $(x + y) (x + y)$ 。

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + (x + y) (x + y)}$

解题步骤 4.6.5

使用 FOIL 方法展开 $(x + y) (x + y)$ 。

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解题步骤 4.6.5.1

运用分配律。

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x (x + y) + y (x + y)}$

解题步骤 4.6.5.2

运用分配律。

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x \cdot x + x y + y (x + y)}$

解题步骤 4.6.5.3

运用分配律。

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x \cdot x + x y + y x + y \cdot y}$

解题步骤 4.6.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.6.6.1

化简每一项。

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解题步骤 4.6.6.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x^{2} + x y + y x + y \cdot y}$

解题步骤 4.6.6.1.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x^{2} + x y + y x + y^{2}}$

解题步骤 4.6.6.2

将 $x y$ 和 $y x$ 相加。

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解题步骤 4.6.6.2.1

将 $y$ 和 $x$ 重新排序。

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x^{2} + x y + x y + y^{2}}$

解题步骤 4.6.6.2.2

将 $x y$ 和 $x y$ 相加。

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x^{2} + 2 x y + y^{2}}$

解题步骤 4.6.7

将 $- 2 x y$ 和 $2 x y$ 相加。

$\frac{x^{2} + 1}{1 + x^{2} y^{2} + x^{2} + 0 + y^{2}}$

解题步骤 4.6.8

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} y^{2} + x^{2} + 1 + y^{2}}$

解题步骤 4.6.9

以因式分解的形式重写 $x^{2} y^{2} + x^{2} + 1 + y^{2}$ 。

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解题步骤 4.6.9.1

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 4.6.9.1.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{x^{2} + 1}{(x^{2} y^{2} + x^{2}) + 1 + y^{2}}$

解题步骤 4.6.9.1.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} (y^{2} + 1) + 1 (y^{2} + 1)}$

解题步骤 4.6.9.2

通过因式分解出最大公因数 $y^{2} + 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{x^{2} + 1}{(y^{2} + 1) (x^{2} + 1)}$

解题步骤 4.7

约去 $x^{2} + 1$ 的公因数。

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解题步骤 4.7.1

约去公因数。

$\frac{x^{2} + 1}{(y^{2} + 1) (x^{2} + 1)}$

解题步骤 4.7.2

重写表达式。

$\frac{1}{y^{2} + 1}$

微积分学 示例

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