微积分学示例

$\ln (5 x^{2} + 10 y^{3}) \cdot (6 x^{- \frac{3}{2}})$

解题步骤 1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{d}{d y} [\ln (5 x^{2} + 10 y^{3}) \cdot (6 \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}})]$

解题步骤 2

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 2.1

组合 $6$ 和 $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{d}{d y} [\ln (5 x^{2} + 10 y^{3}) \cdot \frac{6}{x^{\frac{3}{2}}}]$

解题步骤 2.2

合并分数。

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解题步骤 2.2.1

组合 $\ln (5 x^{2} + 10 y^{3})$ 和 $\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{d}{d y} [\frac{\ln (5 x^{2} + 10 y^{3}) \cdot 6}{x^{\frac{3}{2}}}]$

解题步骤 2.2.2

将 $6$ 移到 $\ln (5 x^{2} + 10 y^{3})$ 的左侧。

$\frac{d}{d y} [\frac{6 \cdot \ln (5 x^{2} + 10 y^{3})}{x^{\frac{3}{2}}}]$

解题步骤 2.3

因为 $\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $\frac{6 \ln (5 x^{2} + 10 y^{3})}{x^{\frac{3}{2}}}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [\ln (5 x^{2} + 10 y^{3})]$ 。

$\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [\ln (5 x^{2} + 10 y^{3})]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = \ln (y)$ 且 $g (y) = 5 x^{2} + 10 y^{3}$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $5 x^{2} + 10 y^{3}$ 。

$\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [5 x^{2} + 10 y^{3}])$

解题步骤 3.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}} (\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [5 x^{2} + 10 y^{3}])$

解题步骤 3.3

使用 $5 x^{2} + 10 y^{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}} (\frac{1}{5 x^{2} + 10 y^{3}} \frac{d}{d y} [5 x^{2} + 10 y^{3}])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{1}{5 x^{2} + 10 y^{3}}$ 乘以 $\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{6}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [5 x^{2} + 10 y^{3}]$

解题步骤 4.2

根据加法法则， $5 x^{2} + 10 y^{3}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [10 y^{3}]$ 。

$\frac{6}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d y} [5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [10 y^{3}])$

解题步骤 4.3

因为 $5 x^{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $5 x^{2}$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{6}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d y} [10 y^{3}])$

解题步骤 4.4

将 $0$ 和 $\frac{d}{d y} [10 y^{3}]$ 相加。

$\frac{6}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [10 y^{3}]$

解题步骤 4.5

因为 $10$ 对于 $y$ 是常数，所以 $10 y^{3}$ 对 $y$ 的导数是 $10 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ 。

$\frac{6}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} (10 \frac{d}{d y} [y^{3}])$

解题步骤 4.6

化简项。

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解题步骤 4.6.1

组合 $10$ 和 $\frac{6}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{10 \cdot 6}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

解题步骤 4.6.2

将 $10$ 乘以 $6$ 。

$\frac{60}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

解题步骤 4.6.3

从 $60$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 \cdot 12}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

解题步骤 5

约去公因数。

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解题步骤 5.1

从 $(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 \cdot 12}{5 ((x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

解题步骤 5.2

约去公因数。

$\frac{5 \cdot 12}{5 ((x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

解题步骤 5.3

重写表达式。

$\frac{12}{(x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

解题步骤 6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{12}{(x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} (3 y^{2})$

解题步骤 7

合并分数。

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解题步骤 7.1

组合 $3$ 和 $\frac{12}{(x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{3 \cdot 12}{(x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} y^{2}$

解题步骤 7.2

将 $3$ 乘以 $12$ 。

$\frac{36}{(x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} y^{2}$

解题步骤 7.3

组合 $\frac{36}{(x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}}$ 和 $y^{2}$ 。

$\frac{36 y^{2}}{(x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

运用分配律。

$\frac{36 y^{2}}{x^{2} x^{\frac{3}{2}} + 2 y^{3} x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 8.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 8.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{36 y^{2}}{x^{2 + \frac{3}{2}} + 2 y^{3} x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 8.2.2

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{36 y^{2}}{x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} + 2 y^{3} x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 8.2.3

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} + 2 y^{3} x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 8.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{2 \cdot 2 + 3}{2}} + 2 y^{3} x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 8.2.5

化简分子。

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解题步骤 8.2.5.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{4 + 3}{2}} + 2 y^{3} x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 8.2.5.2

将 $4$ 和 $3$ 相加。

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{7}{2}} + 2 y^{3} x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 8.3

重新排序项。

$\frac{36 y^{2}}{2 x^{\frac{3}{2}} y^{3} + x^{\frac{7}{2}}}$

解题步骤 8.4

化简分母。

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解题步骤 8.4.1

从 $2 x^{\frac{3}{2}} y^{3} + x^{\frac{7}{2}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 8.4.1.1

从 $2 x^{\frac{3}{2}} y^{3}$ 中分解出因数 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{3}{2}} (2 y^{3}) + x^{\frac{7}{2}}}$

解题步骤 8.4.1.2

从 $x^{\frac{7}{2}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{3}{2}} (2 y^{3}) + x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{4}{2}}}$

解题步骤 8.4.1.3

从 $x^{\frac{3}{2}} (2 y^{3}) + x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{4}{2}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{3}{2}} (2 y^{3} + x^{\frac{4}{2}})}$

解题步骤 8.4.2

用 $4$ 除以 $2$ 。

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{3}{2}} (2 y^{3} + x^{2})}$

微积分学 示例

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