微积分学示例

$p (y) = (y^{- 1} + y^{- 2}) (7 y^{- 3} - 9 y^{- 4})$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 等于 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ，其中 $f (y) = y^{- 1} + y^{- 2}$ 且 $g (y) = 7 y^{- 3} - 9 y^{- 4}$ 。

$(y^{- 1} + y^{- 2}) \frac{d}{d y} [7 y^{- 3} - 9 y^{- 4}] + (7 y^{- 3} - 9 y^{- 4}) \frac{d}{d y} [y^{- 1} + y^{- 2}]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $7 y^{- 3} - 9 y^{- 4}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [7 y^{- 3}] + \frac{d}{d y} [- 9 y^{- 4}]$ 。

$(y^{- 1} + y^{- 2}) (\frac{d}{d y} [7 y^{- 3}] + \frac{d}{d y} [- 9 y^{- 4}]) + (7 y^{- 3} - 9 y^{- 4}) \frac{d}{d y} [y^{- 1} + y^{- 2}]$

解题步骤 2.2

因为 $7$ 对于 $y$ 是常数，所以 $7 y^{- 3}$ 对 $y$ 的导数是 $7 \frac{d}{d y} [y^{- 3}]$ 。

$(y^{- 1} + y^{- 2}) (7 \frac{d}{d y} [y^{- 3}] + \frac{d}{d y} [- 9 y^{- 4}]) + (7 y^{- 3} - 9 y^{- 4}) \frac{d}{d y} [y^{- 1} + y^{- 2}]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = - 3$ 。

$(y^{- 1} + y^{- 2}) (7 (- 3 y^{- 4}) + \frac{d}{d y} [- 9 y^{- 4}]) + (7 y^{- 3} - 9 y^{- 4}) \frac{d}{d y} [y^{- 1} + y^{- 2}]$

解题步骤 2.4

将 $- 3$ 乘以 $7$ 。

$(y^{- 1} + y^{- 2}) (- 21 y^{- 4} + \frac{d}{d y} [- 9 y^{- 4}]) + (7 y^{- 3} - 9 y^{- 4}) \frac{d}{d y} [y^{- 1} + y^{- 2}]$

解题步骤 2.5

因为 $- 9$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 9 y^{- 4}$ 对 $y$ 的导数是 $- 9 \frac{d}{d y} [y^{- 4}]$ 。

$(y^{- 1} + y^{- 2}) (- 21 y^{- 4} - 9 \frac{d}{d y} [y^{- 4}]) + (7 y^{- 3} - 9 y^{- 4}) \frac{d}{d y} [y^{- 1} + y^{- 2}]$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = - 4$ 。

$(y^{- 1} + y^{- 2}) (- 21 y^{- 4} - 9 (- 4 y^{- 5})) + (7 y^{- 3} - 9 y^{- 4}) \frac{d}{d y} [y^{- 1} + y^{- 2}]$

解题步骤 2.7

将 $- 4$ 乘以 $- 9$ 。

$(y^{- 1} + y^{- 2}) (- 21 y^{- 4} + 36 y^{- 5}) + (7 y^{- 3} - 9 y^{- 4}) \frac{d}{d y} [y^{- 1} + y^{- 2}]$

解题步骤 2.8

根据加法法则， $y^{- 1} + y^{- 2}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [y^{- 2}]$ 。

$(y^{- 1} + y^{- 2}) (- 21 y^{- 4} + 36 y^{- 5}) + (7 y^{- 3} - 9 y^{- 4}) (\frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [y^{- 2}])$

解题步骤 2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$(y^{- 1} + y^{- 2}) (- 21 y^{- 4} + 36 y^{- 5}) + (7 y^{- 3} - 9 y^{- 4}) (- y^{- 2} + \frac{d}{d y} [y^{- 2}])$

解题步骤 2.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$(y^{- 1} + y^{- 2}) (- 21 y^{- 4} + 36 y^{- 5}) + (7 y^{- 3} - 9 y^{- 4}) (- y^{- 2} - 2 y^{- 3})$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

重新排序项。

$(- 21 y^{- 4} + 36 y^{- 5}) (y^{- 1} + y^{- 2}) + (- y^{- 2} - 2 y^{- 3}) (7 y^{- 3} - 9 y^{- 4})$

解题步骤 3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$(- 21 \frac{1}{y^{4}} + 36 y^{- 5}) (y^{- 1} + y^{- 2}) + (- y^{- 2} - 2 y^{- 3}) (7 y^{- 3} - 9 y^{- 4})$

解题步骤 3.2.1.2

组合 $- 21$ 和 $\frac{1}{y^{4}}$ 。

$(\frac{- 21}{y^{4}} + 36 y^{- 5}) (y^{- 1} + y^{- 2}) + (- y^{- 2} - 2 y^{- 3}) (7 y^{- 3} - 9 y^{- 4})$

解题步骤 3.2.1.3

将负号移到分数的前面。

$(- \frac{21}{y^{4}} + 36 y^{- 5}) (y^{- 1} + y^{- 2}) + (- y^{- 2} - 2 y^{- 3}) (7 y^{- 3} - 9 y^{- 4})$

解题步骤 3.2.1.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$(- \frac{21}{y^{4}} + 36 \frac{1}{y^{5}}) (y^{- 1} + y^{- 2}) + (- y^{- 2} - 2 y^{- 3}) (7 y^{- 3} - 9 y^{- 4})$

解题步骤 3.2.1.5

组合 $36$ 和 $\frac{1}{y^{5}}$ 。

$(- \frac{21}{y^{4}} + \frac{36}{y^{5}}) (y^{- 1} + y^{- 2}) + (- y^{- 2} - 2 y^{- 3}) (7 y^{- 3} - 9 y^{- 4})$

解题步骤 3.2.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$(- \frac{21}{y^{4}} + \frac{36}{y^{5}}) (\frac{1}{y} + y^{- 2}) + (- y^{- 2} - 2 y^{- 3}) (7 y^{- 3} - 9 y^{- 4})$

解题步骤 3.2.2.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$(- \frac{21}{y^{4}} + \frac{36}{y^{5}}) (\frac{1}{y} + \frac{1}{y^{2}}) + (- y^{- 2} - 2 y^{- 3}) (7 y^{- 3} - 9 y^{- 4})$

解题步骤 3.2.3

使用 FOIL 方法展开 $(- \frac{21}{y^{4}} + \frac{36}{y^{5}}) (\frac{1}{y} + \frac{1}{y^{2}})$ 。

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解题步骤 3.2.3.1

运用分配律。

$- \frac{21}{y^{4}} (\frac{1}{y} + \frac{1}{y^{2}}) + \frac{36}{y^{5}} (\frac{1}{y} + \frac{1}{y^{2}}) + (- y^{- 2} - 2 y^{- 3}) (7 y^{- 3} - 9 y^{- 4})$

解题步骤 3.2.3.2

运用分配律。

$- \frac{21}{y^{4}} \cdot \frac{1}{y} - \frac{21}{y^{4}} \cdot \frac{1}{y^{2}} + \frac{36}{y^{5}} (\frac{1}{y} + \frac{1}{y^{2}}) + (- y^{- 2} - 2 y^{- 3}) (7 y^{- 3} - 9 y^{- 4})$

解题步骤 3.2.3.3

运用分配律。

$- \frac{21}{y^{4}} \cdot \frac{1}{y} - \frac{21}{y^{4}} \cdot \frac{1}{y^{2}} + \frac{36}{y^{5}} \cdot \frac{1}{y} + \frac{36}{y^{5}} \cdot \frac{1}{y^{2}} + (- y^{- 2} - 2 y^{- 3}) (7 y^{- 3} - 9 y^{- 4})$

解题步骤 3.2.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.2.4.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.4.1.1

乘以 $- \frac{21}{y^{4}} \cdot \frac{1}{y}$ 。

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解题步骤 3.2.4.1.1.1

将 $\frac{1}{y}$ 乘以 $\frac{21}{y^{4}}$ 。

$- \frac{21}{y \cdot y^{4}} - \frac{21}{y^{4}} \cdot \frac{1}{y^{2}} + \frac{36}{y^{5}} \cdot \frac{1}{y} + \frac{36}{y^{5}} \cdot \frac{1}{y^{2}} + (- y^{- 2} - 2 y^{- 3}) (7 y^{- 3} - 9 y^{- 4})$

解题步骤 3.2.4.1.1.2

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y^{4}$ 。

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解题步骤 3.2.4.1.1.2.1

将 $y$ 乘以 $y^{4}$ 。

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解题步骤 3.2.4.1.1.2.1.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{21}{y^{1} y^{4}} - \frac{21}{y^{4}} \cdot \frac{1}{y^{2}} + \frac{36}{y^{5}} \cdot \frac{1}{y} + \frac{36}{y^{5}} \cdot \frac{1}{y^{2}} + (- y^{- 2} - 2 y^{- 3}) (7 y^{- 3} - 9 y^{- 4})$

解题步骤 3.2.4.1.1.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{21}{y^{1 + 4}} - \frac{21}{y^{4}} \cdot \frac{1}{y^{2}} + \frac{36}{y^{5}} \cdot \frac{1}{y} + \frac{36}{y^{5}} \cdot \frac{1}{y^{2}} + (- y^{- 2} - 2 y^{- 3}) (7 y^{- 3} - 9 y^{- 4})$

解题步骤 3.2.4.1.1.2.2

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$- \frac{21}{y^{5}} - \frac{21}{y^{4}} \cdot \frac{1}{y^{2}} + \frac{36}{y^{5}} \cdot \frac{1}{y} + \frac{36}{y^{5}} \cdot \frac{1}{y^{2}} + (- y^{- 2} - 2 y^{- 3}) (7 y^{- 3} - 9 y^{- 4})$

解题步骤 3.2.4.1.2

乘以 $- \frac{21}{y^{4}} \cdot \frac{1}{y^{2}}$ 。

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解题步骤 3.2.4.1.2.1

将 $\frac{1}{y^{2}}$ 乘以 $\frac{21}{y^{4}}$ 。

$- \frac{21}{y^{5}} - \frac{21}{y^{2} y^{4}} + \frac{36}{y^{5}} \cdot \frac{1}{y} + \frac{36}{y^{5}} \cdot \frac{1}{y^{2}} + (- y^{- 2} - 2 y^{- 3}) (7 y^{- 3} - 9 y^{- 4})$

解题步骤 3.2.4.1.2.2

通过指数相加将 $y^{2}$ 乘以 $y^{4}$ 。

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解题步骤 3.2.4.1.2.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{21}{y^{5}} - \frac{21}{y^{2 + 4}} + \frac{36}{y^{5}} \cdot \frac{1}{y} + \frac{36}{y^{5}} \cdot \frac{1}{y^{2}} + (- y^{- 2} - 2 y^{- 3}) (7 y^{- 3} - 9 y^{- 4})$

解题步骤 3.2.4.1.2.2.2

将 $2$ 和 $4$ 相加。

$- \frac{21}{y^{5}} - \frac{21}{y^{6}} + \frac{36}{y^{5}} \cdot \frac{1}{y} + \frac{36}{y^{5}} \cdot \frac{1}{y^{2}} + (- y^{- 2} - 2 y^{- 3}) (7 y^{- 3} - 9 y^{- 4})$

解题步骤 3.2.4.1.3

合并。

$- \frac{21}{y^{5}} - \frac{21}{y^{6}} + \frac{36 \cdot 1}{y^{5} y} + \frac{36}{y^{5}} \cdot \frac{1}{y^{2}} + (- y^{- 2} - 2 y^{- 3}) (7 y^{- 3} - 9 y^{- 4})$

解题步骤 3.2.4.1.4

通过指数相加将 $y^{5}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 3.2.4.1.4.1

将 $y^{5}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 3.2.4.1.4.1.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{21}{y^{5}} - \frac{21}{y^{6}} + \frac{36 \cdot 1}{y^{5} y^{1}} + \frac{36}{y^{5}} \cdot \frac{1}{y^{2}} + (- y^{- 2} - 2 y^{- 3}) (7 y^{- 3} - 9 y^{- 4})$

解题步骤 3.2.4.1.4.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{21}{y^{5}} - \frac{21}{y^{6}} + \frac{36 \cdot 1}{y^{5 + 1}} + \frac{36}{y^{5}} \cdot \frac{1}{y^{2}} + (- y^{- 2} - 2 y^{- 3}) (7 y^{- 3} - 9 y^{- 4})$

解题步骤 3.2.4.1.4.2

将 $5$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{21}{y^{5}} - \frac{21}{y^{6}} + \frac{36 \cdot 1}{y^{6}} + \frac{36}{y^{5}} \cdot \frac{1}{y^{2}} + (- y^{- 2} - 2 y^{- 3}) (7 y^{- 3} - 9 y^{- 4})$

解题步骤 3.2.4.1.5

将 $36$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{21}{y^{5}} - \frac{21}{y^{6}} + \frac{36}{y^{6}} + \frac{36}{y^{5}} \cdot \frac{1}{y^{2}} + (- y^{- 2} - 2 y^{- 3}) (7 y^{- 3} - 9 y^{- 4})$

解题步骤 3.2.4.1.6

合并。

$- \frac{21}{y^{5}} - \frac{21}{y^{6}} + \frac{36}{y^{6}} + \frac{36 \cdot 1}{y^{5} y^{2}} + (- y^{- 2} - 2 y^{- 3}) (7 y^{- 3} - 9 y^{- 4})$

解题步骤 3.2.4.1.7

通过指数相加将 $y^{5}$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.4.1.7.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{21}{y^{5}} - \frac{21}{y^{6}} + \frac{36}{y^{6}} + \frac{36 \cdot 1}{y^{5 + 2}} + (- y^{- 2} - 2 y^{- 3}) (7 y^{- 3} - 9 y^{- 4})$

解题步骤 3.2.4.1.7.2

将 $5$ 和 $2$ 相加。

$- \frac{21}{y^{5}} - \frac{21}{y^{6}} + \frac{36}{y^{6}} + \frac{36 \cdot 1}{y^{7}} + (- y^{- 2} - 2 y^{- 3}) (7 y^{- 3} - 9 y^{- 4})$

解题步骤 3.2.4.1.8

将 $36$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{21}{y^{5}} - \frac{21}{y^{6}} + \frac{36}{y^{6}} + \frac{36}{y^{7}} + (- y^{- 2} - 2 y^{- 3}) (7 y^{- 3} - 9 y^{- 4})$

解题步骤 3.2.4.2

在公分母上合并分子。

$- \frac{21}{y^{5}} + \frac{- 21 + 36}{y^{6}} + \frac{36}{y^{7}} + (- y^{- 2} - 2 y^{- 3}) (7 y^{- 3} - 9 y^{- 4})$

解题步骤 3.2.4.3

将 $- 21$ 和 $36$ 相加。

$- \frac{21}{y^{5}} + \frac{15}{y^{6}} + \frac{36}{y^{7}} + (- y^{- 2} - 2 y^{- 3}) (7 y^{- 3} - 9 y^{- 4})$

解题步骤 3.2.5

化简每一项。

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解题步骤 3.2.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{21}{y^{5}} + \frac{15}{y^{6}} + \frac{36}{y^{7}} + (- \frac{1}{y^{2}} - 2 y^{- 3}) (7 y^{- 3} - 9 y^{- 4})$

解题步骤 3.2.5.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{21}{y^{5}} + \frac{15}{y^{6}} + \frac{36}{y^{7}} + (- \frac{1}{y^{2}} - 2 \frac{1}{y^{3}}) (7 y^{- 3} - 9 y^{- 4})$

解题步骤 3.2.5.3

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{y^{3}}$ 。

$- \frac{21}{y^{5}} + \frac{15}{y^{6}} + \frac{36}{y^{7}} + (- \frac{1}{y^{2}} + \frac{- 2}{y^{3}}) (7 y^{- 3} - 9 y^{- 4})$

解题步骤 3.2.5.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{21}{y^{5}} + \frac{15}{y^{6}} + \frac{36}{y^{7}} + (- \frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{3}}) (7 y^{- 3} - 9 y^{- 4})$

解题步骤 3.2.6

化简每一项。

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解题步骤 3.2.6.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{21}{y^{5}} + \frac{15}{y^{6}} + \frac{36}{y^{7}} + (- \frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{3}}) (7 \frac{1}{y^{3}} - 9 y^{- 4})$

解题步骤 3.2.6.2

组合 $7$ 和 $\frac{1}{y^{3}}$ 。

$- \frac{21}{y^{5}} + \frac{15}{y^{6}} + \frac{36}{y^{7}} + (- \frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{3}}) (\frac{7}{y^{3}} - 9 y^{- 4})$

解题步骤 3.2.6.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{21}{y^{5}} + \frac{15}{y^{6}} + \frac{36}{y^{7}} + (- \frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{3}}) (\frac{7}{y^{3}} - 9 \frac{1}{y^{4}})$

解题步骤 3.2.6.4

组合 $- 9$ 和 $\frac{1}{y^{4}}$ 。

$- \frac{21}{y^{5}} + \frac{15}{y^{6}} + \frac{36}{y^{7}} + (- \frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{3}}) (\frac{7}{y^{3}} + \frac{- 9}{y^{4}})$

解题步骤 3.2.6.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{21}{y^{5}} + \frac{15}{y^{6}} + \frac{36}{y^{7}} + (- \frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{3}}) (\frac{7}{y^{3}} - \frac{9}{y^{4}})$

解题步骤 3.2.7

使用 FOIL 方法展开 $(- \frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{3}}) (\frac{7}{y^{3}} - \frac{9}{y^{4}})$ 。

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解题步骤 3.2.7.1

运用分配律。

$- \frac{21}{y^{5}} + \frac{15}{y^{6}} + \frac{36}{y^{7}} - \frac{1}{y^{2}} (\frac{7}{y^{3}} - \frac{9}{y^{4}}) - \frac{2}{y^{3}} (\frac{7}{y^{3}} - \frac{9}{y^{4}})$

解题步骤 3.2.7.2

运用分配律。

$- \frac{21}{y^{5}} + \frac{15}{y^{6}} + \frac{36}{y^{7}} - \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{7}{y^{3}} - \frac{1}{y^{2}} (- \frac{9}{y^{4}}) - \frac{2}{y^{3}} (\frac{7}{y^{3}} - \frac{9}{y^{4}})$

解题步骤 3.2.7.3

运用分配律。

$- \frac{21}{y^{5}} + \frac{15}{y^{6}} + \frac{36}{y^{7}} - \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{7}{y^{3}} - \frac{1}{y^{2}} (- \frac{9}{y^{4}}) - \frac{2}{y^{3}} \cdot \frac{7}{y^{3}} - \frac{2}{y^{3}} (- \frac{9}{y^{4}})$

解题步骤 3.2.8

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.2.8.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.8.1.1

乘以 $- \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{7}{y^{3}}$ 。

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解题步骤 3.2.8.1.1.1

将 $\frac{7}{y^{3}}$ 乘以 $\frac{1}{y^{2}}$ 。

$- \frac{21}{y^{5}} + \frac{15}{y^{6}} + \frac{36}{y^{7}} - \frac{7}{y^{3} y^{2}} - \frac{1}{y^{2}} (- \frac{9}{y^{4}}) - \frac{2}{y^{3}} \cdot \frac{7}{y^{3}} - \frac{2}{y^{3}} (- \frac{9}{y^{4}})$

解题步骤 3.2.8.1.1.2

通过指数相加将 $y^{3}$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.8.1.1.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{21}{y^{5}} + \frac{15}{y^{6}} + \frac{36}{y^{7}} - \frac{7}{y^{3 + 2}} - \frac{1}{y^{2}} (- \frac{9}{y^{4}}) - \frac{2}{y^{3}} \cdot \frac{7}{y^{3}} - \frac{2}{y^{3}} (- \frac{9}{y^{4}})$

解题步骤 3.2.8.1.1.2.2

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$- \frac{21}{y^{5}} + \frac{15}{y^{6}} + \frac{36}{y^{7}} - \frac{7}{y^{5}} - \frac{1}{y^{2}} (- \frac{9}{y^{4}}) - \frac{2}{y^{3}} \cdot \frac{7}{y^{3}} - \frac{2}{y^{3}} (- \frac{9}{y^{4}})$

解题步骤 3.2.8.1.2

乘以 $- \frac{1}{y^{2}} (- \frac{9}{y^{4}})$ 。

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解题步骤 3.2.8.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{21}{y^{5}} + \frac{15}{y^{6}} + \frac{36}{y^{7}} - \frac{7}{y^{5}} + 1 \frac{1}{y^{2}} \frac{9}{y^{4}} - \frac{2}{y^{3}} \cdot \frac{7}{y^{3}} - \frac{2}{y^{3}} (- \frac{9}{y^{4}})$

解题步骤 3.2.8.1.2.2

将 $\frac{1}{y^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{21}{y^{5}} + \frac{15}{y^{6}} + \frac{36}{y^{7}} - \frac{7}{y^{5}} + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{9}{y^{4}} - \frac{2}{y^{3}} \cdot \frac{7}{y^{3}} - \frac{2}{y^{3}} (- \frac{9}{y^{4}})$

解题步骤 3.2.8.1.2.3

将 $\frac{1}{y^{2}}$ 乘以 $\frac{9}{y^{4}}$ 。

$- \frac{21}{y^{5}} + \frac{15}{y^{6}} + \frac{36}{y^{7}} - \frac{7}{y^{5}} + \frac{9}{y^{2} y^{4}} - \frac{2}{y^{3}} \cdot \frac{7}{y^{3}} - \frac{2}{y^{3}} (- \frac{9}{y^{4}})$

解题步骤 3.2.8.1.2.4

通过指数相加将 $y^{2}$ 乘以 $y^{4}$ 。

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解题步骤 3.2.8.1.2.4.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{21}{y^{5}} + \frac{15}{y^{6}} + \frac{36}{y^{7}} - \frac{7}{y^{5}} + \frac{9}{y^{2 + 4}} - \frac{2}{y^{3}} \cdot \frac{7}{y^{3}} - \frac{2}{y^{3}} (- \frac{9}{y^{4}})$

解题步骤 3.2.8.1.2.4.2

将 $2$ 和 $4$ 相加。

$- \frac{21}{y^{5}} + \frac{15}{y^{6}} + \frac{36}{y^{7}} - \frac{7}{y^{5}} + \frac{9}{y^{6}} - \frac{2}{y^{3}} \cdot \frac{7}{y^{3}} - \frac{2}{y^{3}} (- \frac{9}{y^{4}})$

解题步骤 3.2.8.1.3

乘以 $- \frac{2}{y^{3}} \cdot \frac{7}{y^{3}}$ 。

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解题步骤 3.2.8.1.3.1

将 $\frac{7}{y^{3}}$ 乘以 $\frac{2}{y^{3}}$ 。

$- \frac{21}{y^{5}} + \frac{15}{y^{6}} + \frac{36}{y^{7}} - \frac{7}{y^{5}} + \frac{9}{y^{6}} - \frac{7 \cdot 2}{y^{3} y^{3}} - \frac{2}{y^{3}} (- \frac{9}{y^{4}})$

解题步骤 3.2.8.1.3.2

将 $7$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{21}{y^{5}} + \frac{15}{y^{6}} + \frac{36}{y^{7}} - \frac{7}{y^{5}} + \frac{9}{y^{6}} - \frac{14}{y^{3} y^{3}} - \frac{2}{y^{3}} (- \frac{9}{y^{4}})$

解题步骤 3.2.8.1.3.3

通过指数相加将 $y^{3}$ 乘以 $y^{3}$ 。

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解题步骤 3.2.8.1.3.3.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{21}{y^{5}} + \frac{15}{y^{6}} + \frac{36}{y^{7}} - \frac{7}{y^{5}} + \frac{9}{y^{6}} - \frac{14}{y^{3 + 3}} - \frac{2}{y^{3}} (- \frac{9}{y^{4}})$

解题步骤 3.2.8.1.3.3.2

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$- \frac{21}{y^{5}} + \frac{15}{y^{6}} + \frac{36}{y^{7}} - \frac{7}{y^{5}} + \frac{9}{y^{6}} - \frac{14}{y^{6}} - \frac{2}{y^{3}} (- \frac{9}{y^{4}})$

解题步骤 3.2.8.1.4

乘以 $- \frac{2}{y^{3}} (- \frac{9}{y^{4}})$ 。

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解题步骤 3.2.8.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{21}{y^{5}} + \frac{15}{y^{6}} + \frac{36}{y^{7}} - \frac{7}{y^{5}} + \frac{9}{y^{6}} - \frac{14}{y^{6}} + 1 \frac{2}{y^{3}} \frac{9}{y^{4}}$

解题步骤 3.2.8.1.4.2

将 $\frac{2}{y^{3}}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{21}{y^{5}} + \frac{15}{y^{6}} + \frac{36}{y^{7}} - \frac{7}{y^{5}} + \frac{9}{y^{6}} - \frac{14}{y^{6}} + \frac{2}{y^{3}} \cdot \frac{9}{y^{4}}$

解题步骤 3.2.8.1.4.3

将 $\frac{2}{y^{3}}$ 乘以 $\frac{9}{y^{4}}$ 。

$- \frac{21}{y^{5}} + \frac{15}{y^{6}} + \frac{36}{y^{7}} - \frac{7}{y^{5}} + \frac{9}{y^{6}} - \frac{14}{y^{6}} + \frac{2 \cdot 9}{y^{3} y^{4}}$

解题步骤 3.2.8.1.4.4

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$- \frac{21}{y^{5}} + \frac{15}{y^{6}} + \frac{36}{y^{7}} - \frac{7}{y^{5}} + \frac{9}{y^{6}} - \frac{14}{y^{6}} + \frac{18}{y^{3} y^{4}}$

解题步骤 3.2.8.1.4.5

通过指数相加将 $y^{3}$ 乘以 $y^{4}$ 。

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解题步骤 3.2.8.1.4.5.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{21}{y^{5}} + \frac{15}{y^{6}} + \frac{36}{y^{7}} - \frac{7}{y^{5}} + \frac{9}{y^{6}} - \frac{14}{y^{6}} + \frac{18}{y^{3 + 4}}$

解题步骤 3.2.8.1.4.5.2

将 $3$ 和 $4$ 相加。

$- \frac{21}{y^{5}} + \frac{15}{y^{6}} + \frac{36}{y^{7}} - \frac{7}{y^{5}} + \frac{9}{y^{6}} - \frac{14}{y^{6}} + \frac{18}{y^{7}}$

解题步骤 3.2.8.2

在公分母上合并分子。

$- \frac{21}{y^{5}} + \frac{15}{y^{6}} + \frac{36}{y^{7}} - \frac{7}{y^{5}} + \frac{9 - 14}{y^{6}} + \frac{18}{y^{7}}$

解题步骤 3.2.8.3

从 $9$ 中减去 $14$ 。

$- \frac{21}{y^{5}} + \frac{15}{y^{6}} + \frac{36}{y^{7}} - \frac{7}{y^{5}} + \frac{- 5}{y^{6}} + \frac{18}{y^{7}}$

解题步骤 3.2.9

将负号移到分数的前面。

$- \frac{21}{y^{5}} + \frac{15}{y^{6}} + \frac{36}{y^{7}} - \frac{7}{y^{5}} - \frac{5}{y^{6}} + \frac{18}{y^{7}}$

解题步骤 3.3

在公分母上合并分子。

$\frac{- 21 - 7}{y^{5}} + \frac{15 - 5}{y^{6}} + \frac{36 + 18}{y^{7}}$

解题步骤 3.4

从 $- 21$ 中减去 $7$ 。

$\frac{- 28}{y^{5}} + \frac{15 - 5}{y^{6}} + \frac{36 + 18}{y^{7}}$

解题步骤 3.5

从 $15$ 中减去 $5$ 。

$\frac{- 28}{y^{5}} + \frac{10}{y^{6}} + \frac{36 + 18}{y^{7}}$

解题步骤 3.6

将 $36$ 和 $18$ 相加。

$\frac{- 28}{y^{5}} + \frac{10}{y^{6}} + \frac{54}{y^{7}}$

解题步骤 3.7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{28}{y^{5}} + \frac{10}{y^{6}} + \frac{54}{y^{7}}$

微积分学 示例

微积分学示例