微积分学示例

$\ln^{7} (z) + \ln (z^{7})$

解题步骤 1

根据加法法则， $\ln^{7} (z) + \ln (z^{7})$ 对 $z$ 的导数是 $\frac{d}{d z} [\ln^{7} (z)] + \frac{d}{d z} [\ln (z^{7})]$ 。

$\frac{d}{d z} [\ln^{7} (z)] + \frac{d}{d z} [\ln (z^{7})]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d z} [\ln^{7} (z)]$ 。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ 等于 $f' (g (z)) g' (z)$ ，其中 $f (z) = z^{7}$ 且 $g (z) = \ln (z)$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\ln (z)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{7}] \frac{d}{d z} [\ln (z)] + \frac{d}{d z} [\ln (z^{7})]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 7$ 。

$7 {u_{1}}^{6} \frac{d}{d z} [\ln (z)] + \frac{d}{d z} [\ln (z^{7})]$

解题步骤 2.1.3

使用 $\ln (z)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$7 \ln^{6} (z) \frac{d}{d z} [\ln (z)] + \frac{d}{d z} [\ln (z^{7})]$

解题步骤 2.2

$\ln (z)$ 对 $z$ 的导数为 $\frac{1}{z}$ 。

$7 \ln^{6} (z) \frac{1}{z} + \frac{d}{d z} [\ln (z^{7})]$

解题步骤 2.3

组合 $\frac{1}{z}$ 和 $7$ 。

$\frac{7}{z} \ln^{6} (z) + \frac{d}{d z} [\ln (z^{7})]$

解题步骤 2.4

组合 $\frac{7}{z}$ 和 $\ln^{6} (z)$ 。

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{d}{d z} [\ln (z^{7})]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d z} [\ln (z^{7})]$ 。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ 等于 $f' (g (z)) g' (z)$ ，其中 $f (z) = \ln (z)$ 且 $g (z) = z^{7}$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $z^{7}$ 。

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d z} [z^{7}]$

解题步骤 3.1.2

$\ln (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{2}}$ 。

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d z} [z^{7}]$

解题步骤 3.1.3

使用 $z^{7}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{1}{z^{7}} \frac{d}{d z} [z^{7}]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 等于 $n z^{n - 1}$ ，其中 $n = 7$ 。

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{1}{z^{7}} (7 z^{6})$

解题步骤 3.3

组合 $7$ 和 $\frac{1}{z^{7}}$ 。

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{7}{z^{7}} z^{6}$

解题步骤 3.4

组合 $\frac{7}{z^{7}}$ 和 $z^{6}$ 。

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{7 z^{6}}{z^{7}}$

解题步骤 3.5

约去 $z^{6}$ 和 $z^{7}$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.1

从 $7 z^{6}$ 中分解出因数 $z^{6}$ 。

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{z^{6} \cdot 7}{z^{7}}$

解题步骤 3.5.2

约去公因数。

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解题步骤 3.5.2.1

从 $z^{7}$ 中分解出因数 $z^{6}$ 。

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{z^{6} \cdot 7}{z^{6} z}$

解题步骤 3.5.2.2

约去公因数。

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{z^{6} \cdot 7}{z^{6} z}$

解题步骤 3.5.2.3

重写表达式。

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{7}{z}$

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