微积分学示例

$y = x^{5} e^{x}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{5} e^{x})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{5}$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$x^{5} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

解题步骤 3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x^{5} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4})$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

重新排序项。

$e^{x} x^{5} + 5 e^{x} x^{4}$

解题步骤 3.4.2

将 $e^{x} x^{5} + 5 e^{x} x^{4}$ 中的因式重新排序。

$x^{5} e^{x} + 5 x^{4} e^{x}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = x^{5} e^{x} + 5 x^{4} e^{x}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = x^{5} e^{x} + 5 x^{4} e^{x}$

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