微积分学示例

$f (z) = \frac{z^{2} + 1}{3 z}$

解题步骤 1

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $z$ 是常数，所以 $\frac{z^{2} + 1}{3 z}$ 对 $z$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d z} [\frac{z^{2} + 1}{z}]$ 。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d z} [\frac{z^{2} + 1}{z}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ 等于 $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ ，其中 $f (z) = z^{2} + 1$ 且 $g (z) = z$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{z \frac{d}{d z} [z^{2} + 1] - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $z^{2} + 1$ 对 $z$ 的导数是 $\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [1]$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{z (\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [1]) - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 等于 $n z^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{z (2 z + \frac{d}{d z} [1]) - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

解题步骤 3.3

因为 $1$ 对于 $z$ 是常数，所以 $1$ 对 $z$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{z (2 z + 0) - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

解题步骤 3.4

将 $2 z$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{z (2 z) - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

解题步骤 4

对 $z$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (z^{1} z) - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

解题步骤 5

对 $z$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (z^{1} z^{1}) - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

解题步骤 6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 z^{1 + 1} - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

解题步骤 7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 z^{2} - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

解题步骤 8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 等于 $n z^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 z^{2} - (z^{2} + 1) \cdot 1}{z^{2}}$

解题步骤 9

合并分数。

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解题步骤 9.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 z^{2} - (z^{2} + 1)}{z^{2}}$

解题步骤 9.2

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{2 z^{2} - (z^{2} + 1)}{z^{2}}$ 。

$\frac{2 z^{2} - (z^{2} + 1)}{3 z^{2}}$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

运用分配律。

$\frac{2 z^{2} - z^{2} - 1 \cdot 1}{3 z^{2}}$

解题步骤 10.2

化简分子。

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解题步骤 10.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 z^{2} - z^{2} - 1}{3 z^{2}}$

解题步骤 10.2.2

从 $2 z^{2}$ 中减去 $z^{2}$ 。

$\frac{z^{2} - 1}{3 z^{2}}$

解题步骤 10.3

化简分子。

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解题步骤 10.3.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{z^{2} - 1^{2}}{3 z^{2}}$

解题步骤 10.3.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = z$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{(z + 1) (z - 1)}{3 z^{2}}$

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