微积分学示例

$\ln (\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ 等于 $f' (g (z)) g' (z)$ ，其中 $f (z) = \ln (z)$ 且 $g (z) = \frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}$ 。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d z} [\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}]$

解题步骤 1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d z} [\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}]$

解题步骤 1.3

使用 $\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}} \frac{d}{d z} [\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}]$

解题步骤 2

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}$ 。

$1 \frac{z^{20}}{x^{40} y^{30}} \frac{d}{d z} [\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}]$

解题步骤 3

将 $\frac{z^{20}}{x^{40} y^{30}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{z^{20}}{x^{40} y^{30}} \frac{d}{d z} [\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}]$

解题步骤 4

因为 $x^{40} y^{30}$ 对于 $z$ 是常数，所以 $\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}$ 对 $z$ 的导数是 $x^{40} y^{30} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$ 。

$\frac{z^{20}}{x^{40} y^{30}} (x^{40} y^{30} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}])$

解题步骤 5

化简项。

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解题步骤 5.1

组合 $x^{40}$ 和 $\frac{z^{20}}{x^{40} y^{30}}$ 。

$\frac{x^{40} z^{20}}{x^{40} y^{30}} (y^{30} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}])$

解题步骤 5.2

组合 $y^{30}$ 和 $\frac{x^{40} z^{20}}{x^{40} y^{30}}$ 。

$\frac{y^{30} (x^{40} z^{20})}{x^{40} y^{30}} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$

解题步骤 5.3

约去 $y^{30}$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1

约去公因数。

$\frac{y^{30} x^{40} z^{20}}{x^{40} y^{30}} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$

解题步骤 5.3.2

重写表达式。

$\frac{x^{40} z^{20}}{x^{40}} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$

解题步骤 5.4

约去 $x^{40}$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.1

约去公因数。

$\frac{x^{40} z^{20}}{x^{40}} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$

解题步骤 5.4.2

用 $z^{20}$ 除以 $1$ 。

$z^{20} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$

解题步骤 5.5

应用指数的基本规则。

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解题步骤 5.5.1

将 $\frac{1}{z^{20}}$ 重写为 ${(z^{20})}^{- 1}$ 。

$z^{20} \frac{d}{d z} [{(z^{20})}^{- 1}]$

解题步骤 5.5.2

将 ${(z^{20})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.5.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$z^{20} \frac{d}{d z} [z^{20 \cdot - 1}]$

解题步骤 5.5.2.2

将 $20$ 乘以 $- 1$ 。

$z^{20} \frac{d}{d z} [z^{- 20}]$

解题步骤 6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 等于 $n z^{n - 1}$ ，其中 $n = - 20$ 。

$z^{20} (- 20 z^{- 21})$

解题步骤 7

通过指数相加将 $z^{20}$ 乘以 $z^{- 21}$ 。

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解题步骤 7.1

移动 $z^{- 21}$ 。

$z^{- 21} z^{20} \cdot - 20$

解题步骤 7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$z^{- 21 + 20} \cdot - 20$

解题步骤 7.3

将 $- 21$ 和 $20$ 相加。

$z^{- 1} \cdot - 20$

解题步骤 8

将 $- 20$ 移到 $z^{- 1}$ 的左侧。

$- 20 \cdot z^{- 1}$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 20 \frac{1}{z}$

解题步骤 9.2

合并项。

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解题步骤 9.2.1

组合 $- 20$ 和 $\frac{1}{z}$ 。

$\frac{- 20}{z}$

解题步骤 9.2.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{20}{z}$

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