微积分学示例

$f (z) = - \frac{1}{4} z^{8} + \frac{1}{2} z^{4} - 2^{3}$

解题步骤 1

使用求加法法则求导。

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解题步骤 1.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{d}{d z} [- \frac{1}{4} z^{8} + \frac{1}{2} z^{4} - 1 \cdot 8]$

解题步骤 1.2

根据加法法则， $- \frac{1}{4} z^{8} + \frac{1}{2} z^{4} - 1 \cdot 8$ 对 $z$ 的导数是 $\frac{d}{d z} [- \frac{1}{4} z^{8}] + \frac{d}{d z} [\frac{1}{2} z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$ 。

$\frac{d}{d z} [- \frac{1}{4} z^{8}] + \frac{d}{d z} [\frac{1}{2} z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d z} [- \frac{1}{4} z^{8}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $- \frac{1}{4}$ 对于 $z$ 是常数，所以 $- \frac{1}{4} z^{8}$ 对 $z$ 的导数是 $- \frac{1}{4} \frac{d}{d z} [z^{8}]$ 。

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d z} [z^{8}] + \frac{d}{d z} [\frac{1}{2} z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 等于 $n z^{n - 1}$ ，其中 $n = 8$ 。

$- \frac{1}{4} (8 z^{7}) + \frac{d}{d z} [\frac{1}{2} z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

解题步骤 2.3

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$- 8 (\frac{1}{4}) z^{7} + \frac{d}{d z} [\frac{1}{2} z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

解题步骤 2.4

组合 $- 8$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{- 8}{4} z^{7} + \frac{d}{d z} [\frac{1}{2} z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

解题步骤 2.5

组合 $\frac{- 8}{4}$ 和 $z^{7}$ 。

$\frac{- 8 z^{7}}{4} + \frac{d}{d z} [\frac{1}{2} z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

解题步骤 2.6

约去 $- 8$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.1

从 $- 8 z^{7}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- 2 z^{7})}{4} + \frac{d}{d z} [\frac{1}{2} z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

解题步骤 2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 2.6.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- 2 z^{7})}{4 (1)} + \frac{d}{d z} [\frac{1}{2} z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

解题步骤 2.6.2.2

约去公因数。

$\frac{4 (- 2 z^{7})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d z} [\frac{1}{2} z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

解题步骤 2.6.2.3

重写表达式。

$\frac{- 2 z^{7}}{1} + \frac{d}{d z} [\frac{1}{2} z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

解题步骤 2.6.2.4

用 $- 2 z^{7}$ 除以 $1$ 。

$- 2 z^{7} + \frac{d}{d z} [\frac{1}{2} z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d z} [\frac{1}{2} z^{4}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $z$ 是常数，所以 $\frac{1}{2} z^{4}$ 对 $z$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d z} [z^{4}]$ 。

$- 2 z^{7} + \frac{1}{2} \frac{d}{d z} [z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 等于 $n z^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- 2 z^{7} + \frac{1}{2} (4 z^{3}) + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

解题步骤 3.3

组合 $4$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- 2 z^{7} + \frac{4}{2} z^{3} + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

解题步骤 3.4

组合 $\frac{4}{2}$ 和 $z^{3}$ 。

$- 2 z^{7} + \frac{4 z^{3}}{2} + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

解题步骤 3.5

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.1

从 $4 z^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 2 z^{7} + \frac{2 (2 z^{3})}{2} + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

解题步骤 3.5.2

约去公因数。

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解题步骤 3.5.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 2 z^{7} + \frac{2 (2 z^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

解题步骤 3.5.2.2

约去公因数。

$- 2 z^{7} + \frac{2 (2 z^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

解题步骤 3.5.2.3

重写表达式。

$- 2 z^{7} + \frac{2 z^{3}}{1} + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

解题步骤 3.5.2.4

用 $2 z^{3}$ 除以 $1$ 。

$- 2 z^{7} + 2 z^{3} + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

解题步骤 4

计算 $\frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$ 。

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解题步骤 4.1

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$- 2 z^{7} + 2 z^{3} + \frac{d}{d z} [- 8]$

解题步骤 4.2

因为 $- 8$ 对于 $z$ 是常数，所以 $- 8$ 对 $z$ 的导数为 $0$ 。

$- 2 z^{7} + 2 z^{3} + 0$

解题步骤 5

将 $- 2 z^{7} + 2 z^{3}$ 和 $0$ 相加。

$- 2 z^{7} + 2 z^{3}$

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