微积分学示例

$2 x^{0.5} + 6 z^{2} - 4 x^{- 0.5} - 8 t^{4} + 2 z + 33$

解题步骤 1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{d}{d z} [2 x^{0.5} + 6 z^{2} - 4 \frac{1}{x^{0.5}} - 8 t^{4} + 2 z + 33]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $2 x^{0.5} + 6 z^{2} - 4 \frac{1}{x^{0.5}} - 8 t^{4} + 2 z + 33$ 对 $z$ 的导数是 $\frac{d}{d z} [2 x^{0.5}] + \frac{d}{d z} [6 z^{2}] + \frac{d}{d z} [- 4 \frac{1}{x^{0.5}}] + \frac{d}{d z} [- 8 t^{4}] + \frac{d}{d z} [2 z] + \frac{d}{d z} [33]$ 。

$\frac{d}{d z} [2 x^{0.5}] + \frac{d}{d z} [6 z^{2}] + \frac{d}{d z} [- 4 \frac{1}{x^{0.5}}] + \frac{d}{d z} [- 8 t^{4}] + \frac{d}{d z} [2 z] + \frac{d}{d z} [33]$

解题步骤 2.2

因为 $2 x^{0.5}$ 对于 $z$ 是常数，所以 $2 x^{0.5}$ 对 $z$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d z} [6 z^{2}] + \frac{d}{d z} [- 4 \frac{1}{x^{0.5}}] + \frac{d}{d z} [- 8 t^{4}] + \frac{d}{d z} [2 z] + \frac{d}{d z} [33]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d z} [6 z^{2}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $6$ 对于 $z$ 是常数，所以 $6 z^{2}$ 对 $z$ 的导数是 $6 \frac{d}{d z} [z^{2}]$ 。

$0 + 6 \frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [- 4 \frac{1}{x^{0.5}}] + \frac{d}{d z} [- 8 t^{4}] + \frac{d}{d z} [2 z] + \frac{d}{d z} [33]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 等于 $n z^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 + 6 (2 z) + \frac{d}{d z} [- 4 \frac{1}{x^{0.5}}] + \frac{d}{d z} [- 8 t^{4}] + \frac{d}{d z} [2 z] + \frac{d}{d z} [33]$

解题步骤 3.3

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$0 + 12 z + \frac{d}{d z} [- 4 \frac{1}{x^{0.5}}] + \frac{d}{d z} [- 8 t^{4}] + \frac{d}{d z} [2 z] + \frac{d}{d z} [33]$

解题步骤 4

计算 $\frac{d}{d z} [- 4 \frac{1}{x^{0.5}}]$ 。

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解题步骤 4.1

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{x^{0.5}}$ 。

$0 + 12 z + \frac{d}{d z} [\frac{- 4}{x^{0.5}}] + \frac{d}{d z} [- 8 t^{4}] + \frac{d}{d z} [2 z] + \frac{d}{d z} [33]$

解题步骤 4.2

将负号移到分数的前面。

$0 + 12 z + \frac{d}{d z} [- \frac{4}{x^{0.5}}] + \frac{d}{d z} [- 8 t^{4}] + \frac{d}{d z} [2 z] + \frac{d}{d z} [33]$

解题步骤 4.3

因为 $- \frac{4}{x^{0.5}}$ 对于 $z$ 是常数，所以 $- \frac{4}{x^{0.5}}$ 对 $z$ 的导数为 $0$ 。

$0 + 12 z + 0 + \frac{d}{d z} [- 8 t^{4}] + \frac{d}{d z} [2 z] + \frac{d}{d z} [33]$

解题步骤 5

因为 $- 8 t^{4}$ 对于 $z$ 是常数，所以 $- 8 t^{4}$ 对 $z$ 的导数为 $0$ 。

$0 + 12 z + 0 + 0 + \frac{d}{d z} [2 z] + \frac{d}{d z} [33]$

解题步骤 6

计算 $\frac{d}{d z} [2 z]$ 。

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解题步骤 6.1

因为 $2$ 对于 $z$ 是常数，所以 $2 z$ 对 $z$ 的导数是 $2 \frac{d}{d z} [z]$ 。

$0 + 12 z + 0 + 0 + 2 \frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [33]$

解题步骤 6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 等于 $n z^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + 12 z + 0 + 0 + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d z} [33]$

解题步骤 6.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$0 + 12 z + 0 + 0 + 2 + \frac{d}{d z} [33]$

解题步骤 7

因为 $33$ 对于 $z$ 是常数，所以 $33$ 对 $z$ 的导数为 $0$ 。

$0 + 12 z + 0 + 0 + 2 + 0$

解题步骤 8

合并项。

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解题步骤 8.1

将 $0$ 和 $12 z$ 相加。

$12 z + 0 + 0 + 2 + 0$

解题步骤 8.2

将 $12 z$ 和 $0$ 相加。

$12 z + 0 + 2 + 0$

解题步骤 8.3

将 $12 z$ 和 $0$ 相加。

$12 z + 2 + 0$

解题步骤 8.4

将 $12 z + 2$ 和 $0$ 相加。

$12 z + 2$

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