微积分学示例

$y = 3 x e^{2 x^{5}}$

解题步骤 1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x e^{2 x^{5}}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x e^{2 x^{5}}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x e^{2 x^{5}}]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{2 x^{5}}$ 。

$3 (x \frac{d}{d x} [e^{2 x^{5}}] + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 2 x^{5}$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x^{5}$ 。

$3 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x^{5}]) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$3 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x^{5}]) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3

使用 $2 x^{5}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 (x (e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{5}]) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$3 (x (e^{2 x^{5}} (2 \frac{d}{d x} [x^{5}])) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$3 (x (e^{2 x^{5}} (2 (5 x^{4}))) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.3

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$3 (x (e^{2 x^{5}} (10 x^{4})) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 (x^{4} x^{1} (e^{2 x^{5}} \cdot (10)) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 (x^{4 + 1} (e^{2 x^{5}} \cdot (10)) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 7

化简表达式。

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解题步骤 7.1

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$3 (x^{5} (e^{2 x^{5}} \cdot (10)) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 7.2

将 $10$ 移到 $e^{2 x^{5}}$ 的左侧。

$3 (x^{5} (10 \cdot e^{2 x^{5}}) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 (x^{5} (10 e^{2 x^{5}}) + e^{2 x^{5}} \cdot 1)$

解题步骤 9

将 $e^{2 x^{5}}$ 乘以 $1$ 。

$3 (x^{5} (10 e^{2 x^{5}}) + e^{2 x^{5}})$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

运用分配律。

$3 (x^{5} (10 e^{2 x^{5}})) + 3 e^{2 x^{5}}$

解题步骤 10.2

将 $10$ 乘以 $3$ 。

$30 x^{5} e^{2 x^{5}} + 3 e^{2 x^{5}}$

解题步骤 10.3

重新排序项。

$30 e^{2 x^{5}} x^{5} + 3 e^{2 x^{5}}$

解题步骤 10.4

将 $30 e^{2 x^{5}} x^{5} + 3 e^{2 x^{5}}$ 中的因式重新排序。

$30 x^{5} e^{2 x^{5}} + 3 e^{2 x^{5}}$

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