微积分学示例

$y = 3 \sin (x) \cot (x)$

解题步骤 1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 \sin (x) \cot (x)$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cot (x)]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cot (x)]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = \cot (x)$ 。

$3 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 3

$\cot (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc^{2} (x)$ 。

$3 (\sin (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 4

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$3 (\sin (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \cos (x))$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$3 (\sin (x) (- \csc^{2} (x))) + 3 (\cot (x) \cos (x))$

解题步骤 5.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- 3 \sin (x) \csc^{2} (x) + 3 \cot (x) \cos (x)$

解题步骤 5.3

重新排序项。

$- 3 \csc^{2} (x) \sin (x) + 3 \cos (x) \cot (x)$

解题步骤 5.4

化简每一项。

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解题步骤 5.4.1

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$- 3 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} \sin (x) + 3 \cos (x) \cot (x)$

解题步骤 5.4.2

对 $\frac{1}{\sin (x)}$ 运用乘积法则。

$- 3 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + 3 \cos (x) \cot (x)$

解题步骤 5.4.3

一的任意次幂都为一。

$- 3 \frac{1}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + 3 \cos (x) \cot (x)$

解题步骤 5.4.4

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ 。

$\frac{- 3}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + 3 \cos (x) \cot (x)$

解题步骤 5.4.5

约去 $\sin (x)$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.5.1

从 $\sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\frac{- 3}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) + 3 \cos (x) \cot (x)$

解题步骤 5.4.5.2

约去公因数。

$\frac{- 3}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) + 3 \cos (x) \cot (x)$

解题步骤 5.4.5.3

重写表达式。

$\frac{- 3}{\sin (x)} + 3 \cos (x) \cot (x)$

解题步骤 5.4.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3}{\sin (x)} + 3 \cos (x) \cot (x)$

解题步骤 5.4.7

将 $\cot (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$- \frac{3}{\sin (x)} + 3 \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 5.4.8

乘以 $3 \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 。

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解题步骤 5.4.8.1

组合 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 和 $3$ 。

$- \frac{3}{\sin (x)} + \frac{\cos (x) \cdot 3}{\sin (x)} \cos (x)$

解题步骤 5.4.8.2

组合 $\frac{\cos (x) \cdot 3}{\sin (x)}$ 和 $\cos (x)$ 。

$- \frac{3}{\sin (x)} + \frac{\cos (x) \cdot 3 \cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 5.4.8.3

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{3}{\sin (x)} + \frac{3 (\cos^{1} (x) \cos (x))}{\sin (x)}$

解题步骤 5.4.8.4

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{3}{\sin (x)} + \frac{3 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{\sin (x)}$

解题步骤 5.4.8.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{3}{\sin (x)} + \frac{3 {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)}$

解题步骤 5.4.8.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{3}{\sin (x)} + \frac{3 \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 5.5

在公分母上合并分子。

$\frac{- 3 + 3 \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 5.6

从 $- 3$ 中分解出因数 $- 3$ 。

$\frac{- 3 (1) + 3 \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 5.7

从 $3 \cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 3$ 。

$\frac{- 3 (1) - 3 (- \cos^{2} (x))}{\sin (x)}$

解题步骤 5.8

从 $- 3 (1) - 3 (- \cos^{2} (x))$ 中分解出因数 $- 3$ 。

$\frac{- 3 (1 - \cos^{2} (x))}{\sin (x)}$

解题步骤 5.9

使用勾股恒等式。

$\frac{- 3 \sin^{2} (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 5.10

约去 $\sin^{2} (x)$ 和 $\sin (x)$ 的公因数。

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解题步骤 5.10.1

从 $- 3 \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\frac{\sin (x) (- 3 \sin (x))}{\sin (x)}$

解题步骤 5.10.2

约去公因数。

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解题步骤 5.10.2.1

乘以 $1$ 。

$\frac{\sin (x) (- 3 \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1}$

解题步骤 5.10.2.2

约去公因数。

$\frac{\sin (x) (- 3 \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1}$

解题步骤 5.10.2.3

重写表达式。

$\frac{- 3 \sin (x)}{1}$

解题步骤 5.10.2.4

用 $- 3 \sin (x)$ 除以 $1$ 。

$- 3 \sin (x)$

微积分学 示例

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