微积分学示例

$y = 4000 {(1 - \frac{x}{800})}^{2}$

解题步骤 1

将 ${(1 - \frac{x}{800})}^{2}$ 重写为 $(1 - \frac{x}{800}) (1 - \frac{x}{800})$ 。

$\frac{d}{d x} [4000 ((1 - \frac{x}{800}) (1 - \frac{x}{800}))]$

解题步骤 2

使用 FOIL 方法展开 $(1 - \frac{x}{800}) (1 - \frac{x}{800})$ 。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [4000 (1 (1 - \frac{x}{800}) - \frac{x}{800} (1 - \frac{x}{800}))]$

解题步骤 2.2

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [4000 (1 \cdot 1 + 1 (- \frac{x}{800}) - \frac{x}{800} (1 - \frac{x}{800}))]$

解题步骤 2.3

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [4000 (1 \cdot 1 + 1 (- \frac{x}{800}) - \frac{x}{800} \cdot 1 - \frac{x}{800} (- \frac{x}{800}))]$

解题步骤 3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d}{d x} [4000 (1 + 1 (- \frac{x}{800}) - \frac{x}{800} \cdot 1 - \frac{x}{800} (- \frac{x}{800}))]$

解题步骤 3.1.2

将 $- \frac{x}{800}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{800} - \frac{x}{800} \cdot 1 - \frac{x}{800} (- \frac{x}{800}))]$

解题步骤 3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{800} - \frac{x}{800} - \frac{x}{800} (- \frac{x}{800}))]$

解题步骤 3.1.4

乘以 $- \frac{x}{800} (- \frac{x}{800})$ 。

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解题步骤 3.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{800} - \frac{x}{800} + 1 \frac{x}{800} \frac{x}{800})]$

解题步骤 3.1.4.2

将 $\frac{x}{800}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{800} - \frac{x}{800} + \frac{x}{800} \cdot \frac{x}{800})]$

解题步骤 3.1.4.3

将 $\frac{x}{800}$ 乘以 $\frac{x}{800}$ 。

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{800} - \frac{x}{800} + \frac{x \cdot x}{800 \cdot 800})]$

解题步骤 3.1.4.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{800} - \frac{x}{800} + \frac{x^{1} x}{800 \cdot 800})]$

解题步骤 3.1.4.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{800} - \frac{x}{800} + \frac{x^{1} x^{1}}{800 \cdot 800})]$

解题步骤 3.1.4.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{800} - \frac{x}{800} + \frac{x^{1 + 1}}{800 \cdot 800})]$

解题步骤 3.1.4.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{800} - \frac{x}{800} + \frac{x^{2}}{800 \cdot 800})]$

解题步骤 3.1.4.8

将 $800$ 乘以 $800$ 。

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{800} - \frac{x}{800} + \frac{x^{2}}{640000})]$

解题步骤 3.2

从 $- \frac{x}{800}$ 中减去 $\frac{x}{800}$ 。

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - 2 \frac{x}{800} + \frac{x^{2}}{640000})]$

解题步骤 4

化简每一项。

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解题步骤 4.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [4000 (1 + 2 (- 1) \frac{x}{800} + \frac{x^{2}}{640000})]$

解题步骤 4.1.2

从 $800$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [4000 (1 + 2 \cdot - 1 \frac{x}{2 \cdot 400} + \frac{x^{2}}{640000})]$

解题步骤 4.1.3

约去公因数。

$\frac{d}{d x} [4000 (1 + 2 \cdot - 1 \frac{x}{2 \cdot 400} + \frac{x^{2}}{640000})]$

解题步骤 4.1.4

重写表达式。

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - 1 \frac{x}{400} + \frac{x^{2}}{640000})]$

解题步骤 4.2

将 $- 1 \frac{x}{400}$ 重写为 $- \frac{x}{400}$ 。

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{400} + \frac{x^{2}}{640000})]$

解题步骤 5

因为 $4000$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4000 (1 - \frac{x}{400} + \frac{x^{2}}{640000})$ 对 $x$ 的导数是 $4000 \frac{d}{d x} [1 - \frac{x}{400} + \frac{x^{2}}{640000}]$ 。

$4000 \frac{d}{d x} [1 - \frac{x}{400} + \frac{x^{2}}{640000}]$

解题步骤 6

根据加法法则， $1 - \frac{x}{400} + \frac{x^{2}}{640000}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{400}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{640000}]$ 。

$4000 (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{400}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{640000}])$

解题步骤 7

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4000 (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{400}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{640000}])$

解题步骤 8

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{400}]$ 相加。

$4000 (\frac{d}{d x} [- \frac{x}{400}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{640000}])$

解题步骤 9

因为 $- \frac{1}{400}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{x}{400}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{400} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4000 (- \frac{1}{400} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{640000}])$

解题步骤 10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4000 (- \frac{1}{400} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{640000}])$

解题步骤 11

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$4000 (- \frac{1}{400} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{640000}])$

解题步骤 12

因为 $\frac{1}{640000}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x^{2}}{640000}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{640000} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4000 (- \frac{1}{400} + \frac{1}{640000} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4000 (- \frac{1}{400} + \frac{1}{640000} (2 x))$

解题步骤 14

化简项。

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解题步骤 14.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{640000}$ 。

$4000 (- \frac{1}{400} + \frac{2}{640000} x)$

解题步骤 14.2

组合 $\frac{2}{640000}$ 和 $x$ 。

$4000 (- \frac{1}{400} + \frac{2 x}{640000})$

解题步骤 14.3

约去 $2$ 和 $640000$ 的公因数。

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解题步骤 14.3.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$4000 (- \frac{1}{400} + \frac{2 (x)}{640000})$

解题步骤 14.3.2

约去公因数。

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解题步骤 14.3.2.1

从 $640000$ 中分解出因数 $2$ 。

$4000 (- \frac{1}{400} + \frac{2 x}{2 \cdot 320000})$

解题步骤 14.3.2.2

约去公因数。

$4000 (- \frac{1}{400} + \frac{2 x}{2 \cdot 320000})$

解题步骤 14.3.2.3

重写表达式。

$4000 (- \frac{1}{400} + \frac{x}{320000})$

解题步骤 15

化简。

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解题步骤 15.1

运用分配律。

$4000 (- \frac{1}{400}) + 4000 \frac{x}{320000}$

解题步骤 15.2

合并项。

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解题步骤 15.2.1

将 $- 1$ 乘以 $4000$ 。

$- 4000 (\frac{1}{400}) + 4000 \frac{x}{320000}$

解题步骤 15.2.2

组合 $- 4000$ 和 $\frac{1}{400}$ 。

$\frac{- 4000}{400} + 4000 \frac{x}{320000}$

解题步骤 15.2.3

约去 $- 4000$ 和 $400$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.3.1

从 $- 4000$ 中分解出因数 $400$ 。

$\frac{400 \cdot - 10}{400} + 4000 \frac{x}{320000}$

解题步骤 15.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 15.2.3.2.1

从 $400$ 中分解出因数 $400$ 。

$\frac{400 \cdot - 10}{400 (1)} + 4000 \frac{x}{320000}$

解题步骤 15.2.3.2.2

约去公因数。

$\frac{400 \cdot - 10}{400 \cdot 1} + 4000 \frac{x}{320000}$

解题步骤 15.2.3.2.3

重写表达式。

$\frac{- 10}{1} + 4000 \frac{x}{320000}$

解题步骤 15.2.3.2.4

用 $- 10$ 除以 $1$ 。

$- 10 + 4000 \frac{x}{320000}$

解题步骤 15.2.4

组合 $4000$ 和 $\frac{x}{320000}$ 。

$- 10 + \frac{4000 x}{320000}$

解题步骤 15.2.5

约去 $4000$ 和 $320000$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.5.1

从 $4000 x$ 中分解出因数 $4000$ 。

$- 10 + \frac{4000 (x)}{320000}$

解题步骤 15.2.5.2

约去公因数。

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解题步骤 15.2.5.2.1

从 $320000$ 中分解出因数 $4000$ 。

$- 10 + \frac{4000 x}{4000 \cdot 80}$

解题步骤 15.2.5.2.2

约去公因数。

$- 10 + \frac{4000 x}{4000 \cdot 80}$

解题步骤 15.2.5.2.3

重写表达式。

$- 10 + \frac{x}{80}$

解题步骤 15.3

重新排序项。

$\frac{x}{80} - 10$

微积分学 示例

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