微积分学示例

$y = 4 \ln (x^{2} e^{x})$

解题步骤 1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 \ln (x^{2} e^{x})$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} e^{x})]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} e^{x})]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{2} e^{x}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} e^{x}$ 。

$4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}])$

解题步骤 2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}])$

解题步骤 2.3

使用 $x^{2} e^{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 (\frac{1}{x^{2} e^{x}} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}])$

解题步骤 3

组合 $\frac{1}{x^{2} e^{x}}$ 和 $4$ 。

$\frac{4}{x^{2} e^{x}} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$

解题步骤 4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$\frac{4}{x^{2} e^{x}} (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 5

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{4}{x^{2} e^{x}} (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{4}{x^{2} e^{x}} (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x))$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$\frac{4}{x^{2} e^{x}} (x^{2} e^{x}) + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

解题步骤 7.2

合并项。

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解题步骤 7.2.1

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{4}{x^{2} e^{x}}$ 。

$\frac{x^{2} \cdot 4}{x^{2} e^{x}} e^{x} + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

解题步骤 7.2.2

组合 $\frac{x^{2} \cdot 4}{x^{2} e^{x}}$ 和 $e^{x}$ 。

$\frac{x^{2} \cdot 4 e^{x}}{x^{2} e^{x}} + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

解题步骤 7.2.3

将 $4$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$\frac{4 \cdot x^{2} e^{x}}{x^{2} e^{x}} + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

解题步骤 7.2.4

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.4.1

约去公因数。

$\frac{4 x^{2} e^{x}}{x^{2} e^{x}} + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

解题步骤 7.2.4.2

重写表达式。

$\frac{4 e^{x}}{e^{x}} + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

解题步骤 7.2.5

约去 $e^{x}$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.5.1

约去公因数。

$\frac{4 e^{x}}{e^{x}} + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

解题步骤 7.2.5.2

用 $4$ 除以 $1$ 。

$4 + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

解题步骤 7.2.6

组合 $e^{x}$ 和 $\frac{4}{x^{2} e^{x}}$ 。

$4 + \frac{e^{x} \cdot 4}{x^{2} e^{x}} (2 x)$

解题步骤 7.2.7

组合 $2$ 和 $\frac{e^{x} \cdot 4}{x^{2} e^{x}}$ 。

$4 + \frac{2 (e^{x} \cdot 4)}{x^{2} e^{x}} x$

解题步骤 7.2.8

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$4 + \frac{8 e^{x}}{x^{2} e^{x}} x$

解题步骤 7.2.9

组合 $\frac{8 e^{x}}{x^{2} e^{x}}$ 和 $x$ 。

$4 + \frac{8 e^{x} x}{x^{2} e^{x}}$

解题步骤 7.2.10

约去 $e^{x}$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.10.1

约去公因数。

$4 + \frac{8 e^{x} x}{x^{2} e^{x}}$

解题步骤 7.2.10.2

重写表达式。

$4 + \frac{8 x}{x^{2}}$

解题步骤 7.2.11

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.11.1

从 $8 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$4 + \frac{x \cdot 8}{x^{2}}$

解题步骤 7.2.11.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.11.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$4 + \frac{x \cdot 8}{x \cdot x}$

解题步骤 7.2.11.2.2

约去公因数。

$4 + \frac{x \cdot 8}{x \cdot x}$

解题步骤 7.2.11.2.3

重写表达式。

$4 + \frac{8}{x}$

解题步骤 7.3

重新排序项。

$\frac{8}{x} + 4$

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