微积分学示例

$y = 4 x e^{3 x^{4}}$

解题步骤 1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x e^{3 x^{4}}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x e^{3 x^{4}}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x e^{3 x^{4}}]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{3 x^{4}}$ 。

$4 (x \frac{d}{d x} [e^{3 x^{4}}] + e^{3 x^{4}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 3 x^{4}$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x^{4}$ 。

$4 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x^{4}]) + e^{3 x^{4}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$4 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x^{4}]) + e^{3 x^{4}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3

使用 $3 x^{4}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 (x (e^{3 x^{4}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}]) + e^{3 x^{4}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$4 (x (e^{3 x^{4}} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}])) + e^{3 x^{4}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 (x (e^{3 x^{4}} (3 (4 x^{3}))) + e^{3 x^{4}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.3

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$4 (x (e^{3 x^{4}} (12 x^{3})) + e^{3 x^{4}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 (x^{3} x^{1} (e^{3 x^{4}} \cdot (12)) + e^{3 x^{4}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 (x^{3 + 1} (e^{3 x^{4}} \cdot (12)) + e^{3 x^{4}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 7

化简表达式。

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解题步骤 7.1

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$4 (x^{4} (e^{3 x^{4}} \cdot (12)) + e^{3 x^{4}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 7.2

将 $12$ 移到 $e^{3 x^{4}}$ 的左侧。

$4 (x^{4} (12 \cdot e^{3 x^{4}}) + e^{3 x^{4}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 (x^{4} (12 e^{3 x^{4}}) + e^{3 x^{4}} \cdot 1)$

解题步骤 9

将 $e^{3 x^{4}}$ 乘以 $1$ 。

$4 (x^{4} (12 e^{3 x^{4}}) + e^{3 x^{4}})$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

运用分配律。

$4 (x^{4} (12 e^{3 x^{4}})) + 4 e^{3 x^{4}}$

解题步骤 10.2

将 $12$ 乘以 $4$ 。

$48 x^{4} e^{3 x^{4}} + 4 e^{3 x^{4}}$

解题步骤 10.3

重新排序项。

$48 e^{3 x^{4}} x^{4} + 4 e^{3 x^{4}}$

解题步骤 10.4

将 $48 e^{3 x^{4}} x^{4} + 4 e^{3 x^{4}}$ 中的因式重新排序。

$48 x^{4} e^{3 x^{4}} + 4 e^{3 x^{4}}$

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