微积分学示例

$y = 5 (\tan (x) + \sec (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

解题步骤 1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 (\tan (x) + \sec (x)) (\tan (x) - \sec (x))$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [(\tan (x) + \sec (x)) (\tan (x) - \sec (x))]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [(\tan (x) + \sec (x)) (\tan (x) - \sec (x))]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \tan (x) + \sec (x)$ 且 $g (x) = \tan (x) - \sec (x)$ 。

$5 ((\tan (x) + \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x) - \sec (x)] + (\tan (x) - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x) + \sec (x)])$

解题步骤 3

根据加法法则， $\tan (x) - \sec (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- \sec (x)]$ 。

$5 ((\tan (x) + \sec (x)) (\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- \sec (x)]) + (\tan (x) - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x) + \sec (x)])$

解题步骤 4

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$5 ((\tan (x) + \sec (x)) (\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- \sec (x)]) + (\tan (x) - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x) + \sec (x)])$

解题步骤 5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \sec (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ 。

$5 ((\tan (x) + \sec (x)) (\sec^{2} (x) - \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + (\tan (x) - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x) + \sec (x)])$

解题步骤 6

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$5 ((\tan (x) + \sec (x)) (\sec^{2} (x) - (\sec (x) \tan (x))) + (\tan (x) - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x) + \sec (x)])$

解题步骤 7

根据加法法则， $\tan (x) + \sec (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ 。

$5 ((\tan (x) + \sec (x)) (\sec^{2} (x) - \sec (x) \tan (x)) + (\tan (x) - \sec (x)) (\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [\sec (x)]))$

解题步骤 8

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$5 ((\tan (x) + \sec (x)) (\sec^{2} (x) - \sec (x) \tan (x)) + (\tan (x) - \sec (x)) (\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [\sec (x)]))$

解题步骤 9

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$5 ((\tan (x) + \sec (x)) (\sec^{2} (x) - \sec (x) \tan (x)) + (\tan (x) - \sec (x)) (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)))$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

运用分配律。

$5 ((\tan (x) + \sec (x)) (\sec^{2} (x) - \sec (x) \tan (x))) + 5 ((\tan (x) - \sec (x)) (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)))$

解题步骤 10.2

去掉圆括号。

$5 (\tan (x) + \sec (x)) (\sec^{2} (x) - \sec (x) \tan (x)) + 5 (\tan (x) - \sec (x)) (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x))$

解题步骤 10.3

重新排序项。

$5 (\sec^{2} (x) - \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) + \sec (x)) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

解题步骤 10.4

化简每一项。

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解题步骤 10.4.1

运用分配律。

$(5 \sec^{2} (x) + 5 (- \sec (x) \tan (x))) (\tan (x) + \sec (x)) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

解题步骤 10.4.2

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$(5 \sec^{2} (x) - 5 (\sec (x) \tan (x))) (\tan (x) + \sec (x)) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

解题步骤 10.4.3

使用 FOIL 方法展开 $(5 \sec^{2} (x) - 5 \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) + \sec (x))$ 。

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解题步骤 10.4.3.1

运用分配律。

$5 \sec^{2} (x) (\tan (x) + \sec (x)) - 5 \sec (x) \tan (x) (\tan (x) + \sec (x)) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

解题步骤 10.4.3.2

运用分配律。

$5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x) \sec (x) - 5 \sec (x) \tan (x) (\tan (x) + \sec (x)) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

解题步骤 10.4.3.3

运用分配律。

$5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x) \sec (x) - 5 \sec (x) \tan (x) \tan (x) - 5 \sec (x) \tan (x) \sec (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

解题步骤 10.4.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 10.4.4.1

化简每一项。

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解题步骤 10.4.4.1.1

通过指数相加将 $\sec^{2} (x)$ 乘以 $\sec (x)$ 。

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解题步骤 10.4.4.1.1.1

移动 $\sec (x)$ 。

$5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 (\sec (x) \sec^{2} (x)) - 5 \sec (x) \tan (x) \tan (x) - 5 \sec (x) \tan (x) \sec (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

解题步骤 10.4.4.1.1.2

将 $\sec (x)$ 乘以 $\sec^{2} (x)$ 。

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解题步骤 10.4.4.1.1.2.1

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x)) - 5 \sec (x) \tan (x) \tan (x) - 5 \sec (x) \tan (x) \sec (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

解题步骤 10.4.4.1.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 {\sec (x)}^{1 + 2} - 5 \sec (x) \tan (x) \tan (x) - 5 \sec (x) \tan (x) \sec (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

解题步骤 10.4.4.1.1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 \sec^{3} (x) - 5 \sec (x) \tan (x) \tan (x) - 5 \sec (x) \tan (x) \sec (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

解题步骤 10.4.4.1.2

乘以 $- 5 \sec (x) \tan (x) \tan (x)$ 。

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解题步骤 10.4.4.1.2.1

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 \sec^{3} (x) - 5 \sec (x) (\tan^{1} (x) \tan (x)) - 5 \sec (x) \tan (x) \sec (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

解题步骤 10.4.4.1.2.2

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 \sec^{3} (x) - 5 \sec (x) (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) - 5 \sec (x) \tan (x) \sec (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

解题步骤 10.4.4.1.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 \sec^{3} (x) - 5 \sec (x) {\tan (x)}^{1 + 1} - 5 \sec (x) \tan (x) \sec (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

解题步骤 10.4.4.1.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 \sec^{3} (x) - 5 \sec (x) \tan^{2} (x) - 5 \sec (x) \tan (x) \sec (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

解题步骤 10.4.4.1.3

乘以 $- 5 \sec (x) \tan (x) \sec (x)$ 。

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解题步骤 10.4.4.1.3.1

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 \sec^{3} (x) - 5 \sec (x) \tan^{2} (x) - 5 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

解题步骤 10.4.4.1.3.2

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 \sec^{3} (x) - 5 \sec (x) \tan^{2} (x) - 5 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

解题步骤 10.4.4.1.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 \sec^{3} (x) - 5 \sec (x) \tan^{2} (x) - 5 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

解题步骤 10.4.4.1.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 \sec^{3} (x) - 5 \sec (x) \tan^{2} (x) - 5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

解题步骤 10.4.4.2

从 $5 \sec^{2} (x) \tan (x)$ 中减去 $5 \sec^{2} (x) \tan (x)$ 。

$0 + 5 \sec^{3} (x) - 5 \sec (x) \tan^{2} (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

解题步骤 10.4.4.3

将 $0$ 和 $5 \sec^{3} (x)$ 相加。

$5 \sec^{3} (x) - 5 \sec (x) \tan^{2} (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

解题步骤 10.4.5

从 $5 \sec^{3} (x) - 5 \sec (x) \tan^{2} (x)$ 中分解出因数 $5 \sec (x)$ 。

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解题步骤 10.4.5.1

从 $5 \sec^{3} (x)$ 中分解出因数 $5 \sec (x)$ 。

$5 \sec (x) (\sec^{2} (x)) - 5 \sec (x) \tan^{2} (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

解题步骤 10.4.5.2

从 $- 5 \sec (x) \tan^{2} (x)$ 中分解出因数 $5 \sec (x)$ 。

$5 \sec (x) (\sec^{2} (x)) + 5 \sec (x) (- \tan^{2} (x)) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

解题步骤 10.4.5.3

从 $5 \sec (x) (\sec^{2} (x)) + 5 \sec (x) (- \tan^{2} (x))$ 中分解出因数 $5 \sec (x)$ 。

$5 \sec (x) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

解题步骤 10.4.6

使用勾股恒等式。

$5 \sec (x) \cdot 1 + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

解题步骤 10.4.7

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$5 \sec (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

解题步骤 10.4.8

运用分配律。

$5 \sec (x) + (5 \sec^{2} (x) + 5 (\sec (x) \tan (x))) (\tan (x) - \sec (x))$

解题步骤 10.4.9

使用 FOIL 方法展开 $(5 \sec^{2} (x) + 5 \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$ 。

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解题步骤 10.4.9.1

运用分配律。

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) (\tan (x) - \sec (x)) + 5 \sec (x) \tan (x) (\tan (x) - \sec (x))$

解题步骤 10.4.9.2

运用分配律。

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x) (- \sec (x)) + 5 \sec (x) \tan (x) (\tan (x) - \sec (x))$

解题步骤 10.4.9.3

运用分配律。

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x) (- \sec (x)) + 5 \sec (x) \tan (x) \tan (x) + 5 \sec (x) \tan (x) (- \sec (x))$

解题步骤 10.4.10

化简并合并同类项。

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解题步骤 10.4.10.1

化简每一项。

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解题步骤 10.4.10.1.1

通过指数相加将 $\sec^{2} (x)$ 乘以 $\sec (x)$ 。

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解题步骤 10.4.10.1.1.1

移动 $\sec (x)$ 。

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 (\sec (x) \sec^{2} (x)) \cdot - 1 + 5 \sec (x) \tan (x) \tan (x) + 5 \sec (x) \tan (x) (- \sec (x))$

解题步骤 10.4.10.1.1.2

将 $\sec (x)$ 乘以 $\sec^{2} (x)$ 。

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解题步骤 10.4.10.1.1.2.1

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x)) \cdot - 1 + 5 \sec (x) \tan (x) \tan (x) + 5 \sec (x) \tan (x) (- \sec (x))$

解题步骤 10.4.10.1.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 {\sec (x)}^{1 + 2} \cdot - 1 + 5 \sec (x) \tan (x) \tan (x) + 5 \sec (x) \tan (x) (- \sec (x))$

解题步骤 10.4.10.1.1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 \sec^{3} (x) \cdot - 1 + 5 \sec (x) \tan (x) \tan (x) + 5 \sec (x) \tan (x) (- \sec (x))$

解题步骤 10.4.10.1.2

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) - 5 \sec^{3} (x) + 5 \sec (x) \tan (x) \tan (x) + 5 \sec (x) \tan (x) (- \sec (x))$

解题步骤 10.4.10.1.3

乘以 $5 \sec (x) \tan (x) \tan (x)$ 。

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解题步骤 10.4.10.1.3.1

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) - 5 \sec^{3} (x) + 5 \sec (x) (\tan^{1} (x) \tan (x)) + 5 \sec (x) \tan (x) (- \sec (x))$

解题步骤 10.4.10.1.3.2

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) - 5 \sec^{3} (x) + 5 \sec (x) (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) + 5 \sec (x) \tan (x) (- \sec (x))$

解题步骤 10.4.10.1.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) - 5 \sec^{3} (x) + 5 \sec (x) {\tan (x)}^{1 + 1} + 5 \sec (x) \tan (x) (- \sec (x))$

解题步骤 10.4.10.1.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) - 5 \sec^{3} (x) + 5 \sec (x) \tan^{2} (x) + 5 \sec (x) \tan (x) (- \sec (x))$

解题步骤 10.4.10.1.4

乘以 $5 \sec (x) \tan (x) (- \sec (x))$ 。

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解题步骤 10.4.10.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) - 5 \sec^{3} (x) + 5 \sec (x) \tan^{2} (x) - 5 \sec (x) \tan (x) \sec (x)$

解题步骤 10.4.10.1.4.2

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) - 5 \sec^{3} (x) + 5 \sec (x) \tan^{2} (x) - 5 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x)$

解题步骤 10.4.10.1.4.3

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) - 5 \sec^{3} (x) + 5 \sec (x) \tan^{2} (x) - 5 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x)$

解题步骤 10.4.10.1.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) - 5 \sec^{3} (x) + 5 \sec (x) \tan^{2} (x) - 5 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)$

解题步骤 10.4.10.1.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) - 5 \sec^{3} (x) + 5 \sec (x) \tan^{2} (x) - 5 \sec^{2} (x) \tan (x)$

解题步骤 10.4.10.2

从 $5 \sec^{2} (x) \tan (x)$ 中减去 $5 \sec^{2} (x) \tan (x)$ 。

$5 \sec (x) + 0 - 5 \sec^{3} (x) + 5 \sec (x) \tan^{2} (x)$

解题步骤 10.4.10.3

从 $0$ 中减去 $5 \sec^{3} (x)$ 。

$5 \sec (x) - 5 \sec^{3} (x) + 5 \sec (x) \tan^{2} (x)$

解题步骤 10.4.11

从 $- 5 \sec^{3} (x) + 5 \sec (x) \tan^{2} (x)$ 中分解出因数 $5 \sec (x)$ 。

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解题步骤 10.4.11.1

从 $- 5 \sec^{3} (x)$ 中分解出因数 $5 \sec (x)$ 。

$5 \sec (x) + 5 \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + 5 \sec (x) \tan^{2} (x)$

解题步骤 10.4.11.2

从 $5 \sec (x) \tan^{2} (x)$ 中分解出因数 $5 \sec (x)$ 。

$5 \sec (x) + 5 \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + 5 \sec (x) (\tan^{2} (x))$

解题步骤 10.4.11.3

从 $5 \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + 5 \sec (x) (\tan^{2} (x))$ 中分解出因数 $5 \sec (x)$ 。

$5 \sec (x) + 5 \sec (x) (- \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x))$

解题步骤 10.4.12

从 $- \sec^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$5 \sec (x) + 5 \sec (x) (- (\sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x))$

解题步骤 10.4.13

从 $\tan^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$5 \sec (x) + 5 \sec (x) (- (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x)))$

解题步骤 10.4.14

从 $- (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$5 \sec (x) + 5 \sec (x) (- (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)))$

解题步骤 10.4.15

使用勾股恒等式。

$5 \sec (x) + 5 \sec (x) (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 10.4.16

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$5 \sec (x) + 5 \sec (x) \cdot - 1$

解题步骤 10.4.17

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$5 \sec (x) - 5 \sec (x)$

解题步骤 10.5

从 $5 \sec (x)$ 中减去 $5 \sec (x)$ 。

$0$

微积分学 示例

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