微积分学示例

$y = 4 \sin (x) \tan (x)$

解题步骤 1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 \sin (x) \tan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \tan (x)]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \tan (x)]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = \tan (x)$ 。

$4 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 3

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$4 (\sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 4

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$4 (\sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \cos (x))$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$4 (\sin (x) \sec^{2} (x)) + 4 (\tan (x) \cos (x))$

解题步骤 5.2

去掉圆括号。

$4 \sin (x) \sec^{2} (x) + 4 \tan (x) \cos (x)$

解题步骤 5.3

重新排序项。

$4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 4 \cos (x) \tan (x)$

解题步骤 5.4

化简每一项。

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解题步骤 5.4.1

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$4 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x) + 4 \cos (x) \tan (x)$

解题步骤 5.4.2

对 $\frac{1}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$4 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 4 \cos (x) \tan (x)$

解题步骤 5.4.3

一的任意次幂都为一。

$4 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 4 \cos (x) \tan (x)$

解题步骤 5.4.4

组合 $4$ 和 $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 。

$\frac{4}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 4 \cos (x) \tan (x)$

解题步骤 5.4.5

组合 $\frac{4}{\cos^{2} (x)}$ 和 $\sin (x)$ 。

$\frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 \cos (x) \tan (x)$

解题步骤 5.4.6

重写为正弦和余弦的形式，然后约去公因式。

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解题步骤 5.4.6.1

添加圆括号。

$\frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 (\cos (x) \tan (x))$

解题步骤 5.4.6.2

将 $\cos (x)$ 和 $\tan (x)$ 重新排序。

$\frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 (\tan (x) \cos (x))$

解题步骤 5.4.6.3

将 $4 \cos (x) \tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x))$

解题步骤 5.4.6.4

约去公因数。

$\frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 \sin (x)$

解题步骤 5.5

化简每一项。

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解题步骤 5.5.1

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{4 \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + 4 \sin (x)$

解题步骤 5.5.2

分离分数。

$\frac{4}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 4 \sin (x)$

解题步骤 5.5.3

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$\frac{4}{\cos (x)} \tan (x) + 4 \sin (x)$

解题步骤 5.5.4

分离分数。

$\frac{4}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) + 4 \sin (x)$

解题步骤 5.5.5

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$\frac{4}{1} \sec (x) \tan (x) + 4 \sin (x)$

解题步骤 5.5.6

用 $4$ 除以 $1$ 。

$4 \sec (x) \tan (x) + 4 \sin (x)$

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