微积分学示例

$y = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$

解题步骤 1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (\frac{x}{4})]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (\frac{x}{4})]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \ln (\frac{x}{4})$ 。

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{4})] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \frac{x}{4}$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x}{4}$ 。

$5 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$5 (x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.3

使用 $\frac{x}{4}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$5 (x^{2} (\frac{1}{\frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{x}{4}$ 。

$5 (x^{2} (1 \frac{4}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 5

化简项。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{4}{x}$ 乘以 $1$ 。

$5 (x^{2} (\frac{4}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 5.2

组合 $\frac{4}{x}$ 和 $x^{2}$ 。

$5 (\frac{4 x^{2}}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 5.3

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1

从 $4 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$5 (\frac{x (4 x)}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 5.3.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$5 (\frac{x (4 x)}{x^{1}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 5.3.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$5 (\frac{x (4 x)}{x \cdot 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 5.3.2.3

约去公因数。

$5 (\frac{x (4 x)}{x \cdot 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 5.3.2.4

重写表达式。

$5 (\frac{4 x}{1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 5.3.2.5

用 $4 x$ 除以 $1$ 。

$5 (4 x \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 6

因为 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$5 (4 x (\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 7

化简项。

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解题步骤 7.1

组合 $4$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$5 (x (\frac{4}{4} \frac{d}{d x} [x]) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 7.2

组合 $\frac{4}{4}$ 和 $x$ 。

$5 (\frac{4 x}{4} \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 7.3

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.1

约去公因数。

$5 (\frac{4 x}{4} \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 7.3.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$5 (x \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 (x \cdot 1 + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 9

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$5 (x + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$5 (x + \ln (\frac{x}{4}) (2 x))$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

运用分配律。

$5 x + 5 (\ln (\frac{x}{4}) (2 x))$

解题步骤 11.2

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$5 x + 10 \ln (\frac{x}{4}) x$

解题步骤 11.3

重新排序项。

$10 x \ln (\frac{x}{4}) + 5 x$

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