微积分学示例

$y = 5 x^{\frac{8}{5}} - 3 x^{\frac{5}{6}} + x^{\frac{1}{3}} + 5$

解题步骤 1

根据加法法则， $5 x^{\frac{8}{5}} - 3 x^{\frac{5}{6}} + x^{\frac{1}{3}} + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{8}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{8}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{8}{5}}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{\frac{8}{5}}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{8}{5}}]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{8}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{8}{5}$ 。

$5 (\frac{8}{5} x^{\frac{8}{5} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$5 (\frac{8}{5} x^{\frac{8}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$5 (\frac{8}{5} x^{\frac{8}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 2.5

在公分母上合并分子。

$5 (\frac{8}{5} x^{\frac{8 - 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 2.6

化简分子。

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解题步骤 2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$5 (\frac{8}{5} x^{\frac{8 - 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 2.6.2

从 $8$ 中减去 $5$ 。

$5 (\frac{8}{5} x^{\frac{3}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 2.7

组合 $\frac{8}{5}$ 和 $x^{\frac{3}{5}}$ 。

$5 \frac{8 x^{\frac{3}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 2.8

组合 $5$ 和 $\frac{8 x^{\frac{3}{5}}}{5}$ 。

$\frac{5 (8 x^{\frac{3}{5}})}{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 2.9

将 $8$ 乘以 $5$ 。

$\frac{40 x^{\frac{3}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 2.10

从 $40 x^{\frac{3}{5}}$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (8 x^{\frac{3}{5}})}{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 2.11

约去公因数。

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解题步骤 2.11.1

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (8 x^{\frac{3}{5}})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 2.11.2

约去公因数。

$\frac{5 (8 x^{\frac{3}{5}})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 2.11.3

重写表达式。

$\frac{8 x^{\frac{3}{5}}}{1} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 2.11.4

用 $8 x^{\frac{3}{5}}$ 除以 $1$ 。

$8 x^{\frac{3}{5}} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{\frac{5}{6}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{6}}]$ 。

$8 x^{\frac{3}{5}} - 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{5}{6}$ 。

$8 x^{\frac{3}{5}} - 3 (\frac{5}{6} x^{\frac{5}{6} - 1}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$8 x^{\frac{3}{5}} - 3 (\frac{5}{6} x^{\frac{5}{6} - 1 \cdot \frac{6}{6}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$8 x^{\frac{3}{5}} - 3 (\frac{5}{6} x^{\frac{5}{6} + \frac{- 1 \cdot 6}{6}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 3.5

在公分母上合并分子。

$8 x^{\frac{3}{5}} - 3 (\frac{5}{6} x^{\frac{5 - 1 \cdot 6}{6}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 3.6

化简分子。

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解题步骤 3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$8 x^{\frac{3}{5}} - 3 (\frac{5}{6} x^{\frac{5 - 6}{6}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 3.6.2

从 $5$ 中减去 $6$ 。

$8 x^{\frac{3}{5}} - 3 (\frac{5}{6} x^{\frac{- 1}{6}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 3.7

将负号移到分数的前面。

$8 x^{\frac{3}{5}} - 3 (\frac{5}{6} x^{- \frac{1}{6}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 3.8

组合 $\frac{5}{6}$ 和 $x^{- \frac{1}{6}}$ 。

$8 x^{\frac{3}{5}} - 3 \frac{5 x^{- \frac{1}{6}}}{6} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 3.9

组合 $- 3$ 和 $\frac{5 x^{- \frac{1}{6}}}{6}$ 。

$8 x^{\frac{3}{5}} + \frac{- 3 (5 x^{- \frac{1}{6}})}{6} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 3.10

将 $5$ 乘以 $- 3$ 。

$8 x^{\frac{3}{5}} + \frac{- 15 x^{- \frac{1}{6}}}{6} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 3.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{6}}$ 移动到分母。

$8 x^{\frac{3}{5}} + \frac{- 15}{6 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 3.12

从 $- 15$ 中分解出因数 $3$ 。

$8 x^{\frac{3}{5}} + \frac{3 (- 5)}{6 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 3.13

约去公因数。

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解题步骤 3.13.1

从 $6 x^{\frac{1}{6}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$8 x^{\frac{3}{5}} + \frac{3 (- 5)}{3 (2 x^{\frac{1}{6}})} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 3.13.2

约去公因数。

$8 x^{\frac{3}{5}} + \frac{3 \cdot - 5}{3 (2 x^{\frac{1}{6}})} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 3.13.3

重写表达式。

$8 x^{\frac{3}{5}} + \frac{- 5}{2 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 3.14

将负号移到分数的前面。

$8 x^{\frac{3}{5}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 4

计算 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ 。

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解题步骤 4.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$8 x^{\frac{3}{5}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 4.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$8 x^{\frac{3}{5}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 4.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$8 x^{\frac{3}{5}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 4.4

在公分母上合并分子。

$8 x^{\frac{3}{5}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 4.5

化简分子。

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解题步骤 4.5.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$8 x^{\frac{3}{5}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 4.5.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$8 x^{\frac{3}{5}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 4.6

将负号移到分数的前面。

$8 x^{\frac{3}{5}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 5

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$8 x^{\frac{3}{5}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + 0$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$8 x^{\frac{3}{5}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + 0$

解题步骤 6.2

合并项。

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解题步骤 6.2.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$8 x^{\frac{3}{5}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0$

解题步骤 6.2.2

将 $8 x^{\frac{3}{5}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 和 $0$ 相加。

$8 x^{\frac{3}{5}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 6.3

重新排序项。

$8 x^{\frac{3}{5}} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{6}}}$

微积分学 示例

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