微积分学示例

$y = 5 \cos (x) \sec (x^{2})$

解题步骤 1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 \cos (x) \sec (x^{2})$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sec (x^{2})]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sec (x^{2})]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = \sec (x^{2})$ 。

$5 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x^{2})] + \sec (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sec (x)$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2}$ 。

$5 (\cos (x) (\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sec (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 3.2

$\sec (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\sec (u) \tan (u)$ 。

$5 (\cos (x) (\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sec (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 3.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$5 (\cos (x) (\sec (x^{2}) \tan (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sec (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$5 (\cos (x) \sec (x^{2}) \tan (x^{2}) (2 x) + \sec (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 5

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$5 (\cos (x) \sec (x^{2}) \tan (x^{2}) (2 x) + \sec (x^{2}) (- \sin (x)))$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$5 (\cos (x) \sec (x^{2}) \tan (x^{2}) (2 x)) + 5 (\sec (x^{2}) (- \sin (x)))$

解题步骤 6.2

合并项。

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解题步骤 6.2.1

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$10 (\cos (x) \sec (x^{2}) \tan (x^{2}) (x)) + 5 (\sec (x^{2}) (- \sin (x)))$

解题步骤 6.2.2

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$10 \cos (x) \sec (x^{2}) \tan (x^{2}) x - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

解题步骤 6.3

重新排序项。

$10 x \cos (x) \sec (x^{2}) \tan (x^{2}) - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

解题步骤 6.4

化简每一项。

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解题步骤 6.4.1

将 $\sec (x^{2})$ 重写为正弦和余弦形式。

$10 x \cos (x) \frac{1}{\cos (x^{2})} \tan (x^{2}) - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

解题步骤 6.4.2

乘以 $10 x \cos (x) \frac{1}{\cos (x^{2})}$ 。

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解题步骤 6.4.2.1

组合 $10$ 和 $\frac{1}{\cos (x^{2})}$ 。

$x \cos (x) \frac{10}{\cos (x^{2})} \tan (x^{2}) - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

解题步骤 6.4.2.2

组合 $\frac{10}{\cos (x^{2})}$ 和 $x$ 。

$\frac{10 x}{\cos (x^{2})} \cos (x) \tan (x^{2}) - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

解题步骤 6.4.2.3

组合 $\frac{10 x}{\cos (x^{2})}$ 和 $\cos (x)$ 。

$\frac{10 x \cos (x)}{\cos (x^{2})} \tan (x^{2}) - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

解题步骤 6.4.3

将 $\tan (x^{2})$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{10 x \cos (x)}{\cos (x^{2})} \cdot \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})} - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

解题步骤 6.4.4

合并。

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos (x^{2}) \cos (x^{2})} - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

解题步骤 6.4.5

化简分母。

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解题步骤 6.4.5.1

对 $\cos (x^{2})$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos^{1} (x^{2}) \cos (x^{2})} - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

解题步骤 6.4.5.2

对 $\cos (x^{2})$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos^{1} (x^{2}) \cos^{1} (x^{2})} - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

解题步骤 6.4.5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{{\cos (x^{2})}^{1 + 1}} - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

解题步骤 6.4.5.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})} - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

解题步骤 6.4.6

将 $\sec (x^{2})$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})} - 5 \frac{1}{\cos (x^{2})} \sin (x)$

解题步骤 6.4.7

组合 $- 5$ 和 $\frac{1}{\cos (x^{2})}$ 。

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})} + \frac{- 5}{\cos (x^{2})} \sin (x)$

解题步骤 6.4.8

将负号移到分数的前面。

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})} - \frac{5}{\cos (x^{2})} \sin (x)$

解题步骤 6.4.9

组合 $\sin (x)$ 和 $\frac{5}{\cos (x^{2})}$ 。

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})} - \frac{\sin (x) \cdot 5}{\cos (x^{2})}$

解题步骤 6.4.10

将 $5$ 移到 $\sin (x)$ 的左侧。

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})} - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

解题步骤 6.5

化简每一项。

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解题步骤 6.5.1

从 $\cos^{2} (x^{2})$ 中分解出因数 $\cos (x^{2})$ 。

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos (x^{2}) \cos (x^{2})} - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

解题步骤 6.5.2

分离分数。

$\frac{10 x \sin (x^{2})}{\cos (x^{2})} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x^{2})} - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

解题步骤 6.5.3

将 $\frac{\cos (x)}{\cos (x^{2})}$ 重写为乘积形式。

$\frac{10 x \sin (x^{2})}{\cos (x^{2})} (\cos (x) \frac{1}{\cos (x^{2})}) - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

解题步骤 6.5.4

将 $\cos (x)$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{10 x \sin (x^{2})}{\cos (x^{2})} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x^{2})}) - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

解题步骤 6.5.5

化简。

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解题步骤 6.5.5.1

用 $\cos (x)$ 除以 $1$ 。

$\frac{10 x \sin (x^{2})}{\cos (x^{2})} (\cos (x) \frac{1}{\cos (x^{2})}) - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

解题步骤 6.5.5.2

将 $\frac{1}{\cos (x^{2})}$ 转换成 $\sec (x^{2})$ 。

$\frac{10 x \sin (x^{2})}{\cos (x^{2})} (\cos (x) \sec (x^{2})) - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

解题步骤 6.5.6

分离分数。

$\frac{10 x}{1} \cdot \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})} (\cos (x) \sec (x^{2})) - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

解题步骤 6.5.7

将 $\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}$ 转换成 $\tan (x^{2})$ 。

$\frac{10 x}{1} \tan (x^{2}) (\cos (x) \sec (x^{2})) - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

解题步骤 6.5.8

用 $10 x$ 除以 $1$ 。

$10 x \tan (x^{2}) (\cos (x) \sec (x^{2})) - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

解题步骤 6.5.9

分离分数。

$10 x \tan (x^{2}) \cos (x) \sec (x^{2}) - (\frac{5}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x^{2})})$

解题步骤 6.5.10

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x^{2})}$ 重写为乘积形式。

$10 x \tan (x^{2}) \cos (x) \sec (x^{2}) - (\frac{5}{1} (\sin (x) \frac{1}{\cos (x^{2})}))$

解题步骤 6.5.11

将 $\sin (x)$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$10 x \tan (x^{2}) \cos (x) \sec (x^{2}) - (\frac{5}{1} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x^{2})}))$

解题步骤 6.5.12

化简。

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解题步骤 6.5.12.1

用 $\sin (x)$ 除以 $1$ 。

$10 x \tan (x^{2}) \cos (x) \sec (x^{2}) - (\frac{5}{1} (\sin (x) \frac{1}{\cos (x^{2})}))$

解题步骤 6.5.12.2

将 $\frac{1}{\cos (x^{2})}$ 转换成 $\sec (x^{2})$ 。

$10 x \tan (x^{2}) \cos (x) \sec (x^{2}) - (\frac{5}{1} (\sin (x) \sec (x^{2})))$

解题步骤 6.5.13

用 $5$ 除以 $1$ 。

$10 x \tan (x^{2}) \cos (x) \sec (x^{2}) - (5 (\sin (x) \sec (x^{2})))$

解题步骤 6.5.14

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$10 x \tan (x^{2}) \cos (x) \sec (x^{2}) - 5 \sin (x) \sec (x^{2})$

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