微积分学示例

$y = 2 x \sqrt{x^{2} - 2 x + 2}$

解题步骤 1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} - 2 x + 2}$ 重写成 ${(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}] + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x^{2} - 2 x + 2$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 2 x + 2$ 。

$2 (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$2 (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3

使用 $x^{2} - 2 x + 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$2 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$2 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$2 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 8

合并分数。

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解题步骤 8.1

将负号移到分数的前面。

$2 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 8.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$2 (x (\frac{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 8.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$2 (x (\frac{1}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 8.4

组合 $\frac{1}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2] + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 9

根据加法法则， $x^{2} - 2 x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 11

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 13

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 14

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2 + 0) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 15

将 $2 x - 2$ 和 $0$ 相加。

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 16

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

解题步骤 17

将 ${(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 18

化简。

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解题步骤 18.1

运用分配律。

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2)) + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 18.2

合并项。

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解题步骤 18.2.1

组合 $\frac{x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $2$ 。

$\frac{x \cdot 2}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2) + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 18.2.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2) + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 18.2.3

约去公因数。

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2) + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 18.2.4

重写表达式。

$\frac{x}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2) + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 18.3

重新排序项。

$(2 x - 2) \frac{x}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 18.4

化简每一项。

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解题步骤 18.4.1

将 $2 x - 2$ 乘以 $\frac{x}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{(2 x - 2) x}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 18.4.2

从 $2 x - 2$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 18.4.2.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{(2 (x) - 2) x}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 18.4.2.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{(2 (x) + 2 (- 1)) x}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 18.4.2.3

从 $2 (x) + 2 (- 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x - 1) x}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 18.5

要将 $2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{2 (x - 1) x}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 18.6

在公分母上合并分子。

$\frac{2 (x - 1) x + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 18.7

化简分子。

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解题步骤 18.7.1

从 $2 (x - 1) x + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 18.7.1.1

从 $2 (x - 1) x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 ((x - 1) x) + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 18.7.1.2

从 $2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 ((x - 1) x) + 2 ({(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 18.7.1.3

从 $2 ((x - 1) x) + 2 ({(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 ((x - 1) x + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 18.7.2

运用分配律。

$\frac{2 (x \cdot x - 1 x + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 18.7.3

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 (x^{2} - 1 x + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 18.7.4

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{2 (x^{2} - x + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 18.7.5

通过指数相加将 ${(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 18.7.5.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 (x^{2} - x + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}})}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 18.7.5.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2 (x^{2} - x + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1 + 1}{2}})}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 18.7.5.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 (x^{2} - x + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{2}{2}})}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 18.7.5.4

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{2 (x^{2} - x + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{1})}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 18.7.6

化简 ${(x^{2} - 2 x + 2)}^{1}$ 。

$\frac{2 (x^{2} - x + x^{2} - 2 x + 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 18.7.7

将 $x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$\frac{2 (2 x^{2} - x - 2 x + 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 18.7.8

从 $- x$ 中减去 $2 x$ 。

$\frac{2 (2 x^{2} - 3 x + 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

微积分学 示例

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