微积分学示例

$y = 2 x \log (\sqrt{x})$

解题步骤 1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x \log (x^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x \log (x^{\frac{1}{2}})$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x \log (x^{\frac{1}{2}})]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x \log (x^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \log (x^{\frac{1}{2}})$ 。

$2 (x \frac{d}{d x} [\log (x^{\frac{1}{2}})] + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \log (x)$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 (x (\frac{d}{d u} [\log (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.2

$\log (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u \ln (10)}$ 。

$2 (x (\frac{1}{u \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3

使用 $x^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (x (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4

合并分数。

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解题步骤 4.1

组合 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)}$ 和 $x$ 。

$2 (\frac{x}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.2

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$2 (\frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 5.1

将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (\frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 (\frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$2 (\frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5.3

在公分母上合并分子。

$2 (\frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (10)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (10)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (10)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 9

在公分母上合并分子。

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (10)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 10

化简分子。

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解题步骤 10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (10)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (10)} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 11

将负号移到分数的前面。

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (10)} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 12

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (10)} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 13

将 $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (10)}$ 乘以 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{\ln (10) \cdot 2} + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 14

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 14.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}}}{\ln (10) \cdot 2} + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 14.2

在公分母上合并分子。

$2 (\frac{x^{\frac{1 - 1}{2}}}{\ln (10) \cdot 2} + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 14.3

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$2 (\frac{x^{\frac{0}{2}}}{\ln (10) \cdot 2} + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 14.4

用 $0$ 除以 $2$ 。

$2 (\frac{x^{0}}{\ln (10) \cdot 2} + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 15

化简表达式。

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解题步骤 15.1

化简 $x^{0}$ 。

$2 (\frac{1}{\ln (10) \cdot 2} + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 15.2

将 $2$ 移到 $\ln (10)$ 的左侧。

$2 (\frac{1}{2 \cdot \ln (10)} + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 16

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 (\frac{1}{2 \ln (10)} + \log (x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1)$

解题步骤 17

将 $\log (x^{\frac{1}{2}})$ 乘以 $1$ 。

$2 (\frac{1}{2 \ln (10)} + \log (x^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 18

化简。

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解题步骤 18.1

运用分配律。

$2 \frac{1}{2 \ln (10)} + 2 \log (x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 18.2

合并项。

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解题步骤 18.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2 \ln (10)}$ 。

$\frac{2}{2 \ln (10)} + 2 \log (x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 18.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 18.2.2.1

约去公因数。

$\frac{2}{2 \ln (10)} + 2 \log (x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 18.2.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{\ln (10)} + 2 \log (x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 18.3

重新排序项。

$2 \log (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{\ln (10)}$

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