微积分学示例

$y = 2 x (\sqrt{x} - x^{2} + 3 x - 5)$

解题步骤 1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5)]$

解题步骤 1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5)]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5)]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5$ 。

$2 (x \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5] + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$2 (x (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$2 (x (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 (x (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$2 (x (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$2 (x (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 (x (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$2 (x (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 8

合并分数。

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解题步骤 8.1

将负号移到分数的前面。

$2 (x (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 8.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$2 (x (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 8.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$2 (x (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 9

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$2 (x (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (x (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 11

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 (x (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 12

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 (x (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 (x (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 14

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$2 (x (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x + 3 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 15

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 (x (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x + 3 + 0) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 16

将 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x + 3$ 和 $0$ 相加。

$2 (x (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x + 3) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 17

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 (x (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x + 3) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \cdot 1)$

解题步骤 18

将 $x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5$ 乘以 $1$ 。

$2 (x (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x + 3) + x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5)$

解题步骤 19

化简。

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解题步骤 19.1

运用分配律。

$2 (x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x (- 2 x) + x \cdot 3 + x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5)$

解题步骤 19.2

运用分配律。

$2 (x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 2 (x (- 2 x)) + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

解题步骤 19.3

合并项。

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解题步骤 19.3.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$2 \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 (x (- 2 x)) + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

解题步骤 19.3.2

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$2 \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + 2 (x (- 2 x)) + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

解题步骤 19.3.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 19.3.3.1

将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 19.3.3.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + 2 (x (- 2 x)) + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

解题步骤 19.3.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} + 2 (x (- 2 x)) + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

解题步骤 19.3.3.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$2 \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + 2 (x (- 2 x)) + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

解题步骤 19.3.3.3

在公分母上合并分子。

$2 \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} + 2 (x (- 2 x)) + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

解题步骤 19.3.3.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$2 \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 (x (- 2 x)) + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

解题步骤 19.3.4

组合 $2$ 和 $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 (x (- 2 x)) + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

解题步骤 19.3.5

约去公因数。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 (x (- 2 x)) + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

解题步骤 19.3.6

用 $x^{\frac{1}{2}}$ 除以 $1$ 。

$x^{\frac{1}{2}} + 2 (x (- 2 x)) + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

解题步骤 19.3.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{\frac{1}{2}} + 2 (- 2 (x^{1} x)) + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

解题步骤 19.3.8

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{\frac{1}{2}} + 2 (- 2 (x^{1} x^{1})) + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

解题步骤 19.3.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{\frac{1}{2}} + 2 (- 2 x^{1 + 1}) + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

解题步骤 19.3.10

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x^{\frac{1}{2}} + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

解题步骤 19.3.11

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$x^{\frac{1}{2}} - 4 x^{2} + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

解题步骤 19.3.12

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{\frac{1}{2}} - 4 x^{2} + 2 (3 \cdot x) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

解题步骤 19.3.13

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$x^{\frac{1}{2}} - 4 x^{2} + 6 x + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

解题步骤 19.3.14

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 和 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 相加。

$- 4 x^{2} + 6 x + 3 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

解题步骤 19.3.15

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 4 x^{2} + 6 x + 3 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{2} + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

解题步骤 19.3.16

从 $- 4 x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$- 6 x^{2} + 6 x + 3 x^{\frac{1}{2}} + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

解题步骤 19.3.17

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$- 6 x^{2} + 6 x + 3 x^{\frac{1}{2}} + 6 x + 2 \cdot - 5$

解题步骤 19.3.18

将 $6 x$ 和 $6 x$ 相加。

$- 6 x^{2} + 12 x + 3 x^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot - 5$

解题步骤 19.3.19

将 $2$ 乘以 $- 5$ 。

$- 6 x^{2} + 12 x + 3 x^{\frac{1}{2}} - 10$

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