微积分学示例

$y = 3 x^{3} (4 x^{4} - 5 x^{3})$

解题步骤 1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{3} (4 x^{4} - 5 x^{3})$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{3} (4 x^{4} - 5 x^{3})]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{3} (4 x^{4} - 5 x^{3})]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = 4 x^{4} - 5 x^{3}$ 。

$3 (x^{3} \frac{d}{d x} [4 x^{4} - 5 x^{3}] + (4 x^{4} - 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $4 x^{4} - 5 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ 。

$3 (x^{3} (\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]) + (4 x^{4} - 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 3.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$3 (x^{3} (4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]) + (4 x^{4} - 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$3 (x^{3} (4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]) + (4 x^{4} - 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 3.4

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$3 (x^{3} (16 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]) + (4 x^{4} - 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 3.5

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$3 (x^{3} (16 x^{3} - 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]) + (4 x^{4} - 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 (x^{3} (16 x^{3} - 5 (3 x^{2})) + (4 x^{4} - 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 3.7

将 $3$ 乘以 $- 5$ 。

$3 (x^{3} (16 x^{3} - 15 x^{2}) + (4 x^{4} - 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 (x^{3} (16 x^{3} - 15 x^{2}) + (4 x^{4} - 5 x^{3}) (3 x^{2}))$

解题步骤 3.9

将 $3$ 移到 $4 x^{4} - 5 x^{3}$ 的左侧。

$3 (x^{3} (16 x^{3} - 15 x^{2}) + 3 \cdot (4 x^{4} - 5 x^{3}) x^{2})$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$3 (x^{3} (16 x^{3}) + x^{3} (- 15 x^{2}) + 3 (4 x^{4} - 5 x^{3}) x^{2})$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$3 (x^{3} (16 x^{3}) + x^{3} (- 15 x^{2}) + (3 (4 x^{4}) + 3 (- 5 x^{3})) x^{2})$

解题步骤 4.3

运用分配律。

$3 (x^{3} (16 x^{3}) + x^{3} (- 15 x^{2}) + 3 (4 x^{4}) x^{2} + 3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

解题步骤 4.4

运用分配律。

$3 (x^{3} (16 x^{3})) + 3 (x^{3} (- 15 x^{2})) + 3 (3 (4 x^{4}) x^{2}) + 3 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

解题步骤 4.5

合并项。

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解题步骤 4.5.1

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 4.5.1.1

移动 $x^{3}$ 。

$3 (x^{3} x^{3} \cdot 16) + 3 (x^{3} (- 15 x^{2})) + 3 (3 (4 x^{4}) x^{2}) + 3 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

解题步骤 4.5.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 (x^{3 + 3} \cdot 16) + 3 (x^{3} (- 15 x^{2})) + 3 (3 (4 x^{4}) x^{2}) + 3 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

解题步骤 4.5.1.3

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$3 (x^{6} \cdot 16) + 3 (x^{3} (- 15 x^{2})) + 3 (3 (4 x^{4}) x^{2}) + 3 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

解题步骤 4.5.2

将 $16$ 移到 $x^{6}$ 的左侧。

$3 (16 \cdot x^{6}) + 3 (x^{3} (- 15 x^{2})) + 3 (3 (4 x^{4}) x^{2}) + 3 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

解题步骤 4.5.3

将 $16$ 乘以 $3$ 。

$48 x^{6} + 3 (x^{3} (- 15 x^{2})) + 3 (3 (4 x^{4}) x^{2}) + 3 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

解题步骤 4.5.4

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.5.4.1

移动 $x^{2}$ 。

$48 x^{6} + 3 (x^{2} x^{3} \cdot - 15) + 3 (3 (4 x^{4}) x^{2}) + 3 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

解题步骤 4.5.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$48 x^{6} + 3 (x^{2 + 3} \cdot - 15) + 3 (3 (4 x^{4}) x^{2}) + 3 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

解题步骤 4.5.4.3

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$48 x^{6} + 3 (x^{5} \cdot - 15) + 3 (3 (4 x^{4}) x^{2}) + 3 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

解题步骤 4.5.5

将 $- 15$ 移到 $x^{5}$ 的左侧。

$48 x^{6} + 3 (- 15 \cdot x^{5}) + 3 (3 (4 x^{4}) x^{2}) + 3 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

解题步骤 4.5.6

将 $- 15$ 乘以 $3$ 。

$48 x^{6} - 45 x^{5} + 3 (3 (4 x^{4}) x^{2}) + 3 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

解题步骤 4.5.7

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$48 x^{6} - 45 x^{5} + 3 (12 x^{4} x^{2}) + 3 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

解题步骤 4.5.8

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.5.8.1

移动 $x^{2}$ 。

$48 x^{6} - 45 x^{5} + 3 (12 (x^{2} x^{4})) + 3 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

解题步骤 4.5.8.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$48 x^{6} - 45 x^{5} + 3 (12 x^{2 + 4}) + 3 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

解题步骤 4.5.8.3

将 $2$ 和 $4$ 相加。

$48 x^{6} - 45 x^{5} + 3 (12 x^{6}) + 3 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

解题步骤 4.5.9

将 $12$ 乘以 $3$ 。

$48 x^{6} - 45 x^{5} + 36 x^{6} + 3 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

解题步骤 4.5.10

将 $- 5$ 乘以 $3$ 。

$48 x^{6} - 45 x^{5} + 36 x^{6} + 3 (- 15 x^{3} x^{2})$

解题步骤 4.5.11

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.5.11.1

移动 $x^{2}$ 。

$48 x^{6} - 45 x^{5} + 36 x^{6} + 3 (- 15 (x^{2} x^{3}))$

解题步骤 4.5.11.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$48 x^{6} - 45 x^{5} + 36 x^{6} + 3 (- 15 x^{2 + 3})$

解题步骤 4.5.11.3

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$48 x^{6} - 45 x^{5} + 36 x^{6} + 3 (- 15 x^{5})$

解题步骤 4.5.12

将 $- 15$ 乘以 $3$ 。

$48 x^{6} - 45 x^{5} + 36 x^{6} - 45 x^{5}$

解题步骤 4.5.13

将 $48 x^{6}$ 和 $36 x^{6}$ 相加。

$84 x^{6} - 45 x^{5} - 45 x^{5}$

解题步骤 4.5.14

从 $- 45 x^{5}$ 中减去 $45 x^{5}$ 。

$84 x^{6} - 90 x^{5}$

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