微积分学示例

$y = 2 x \arccos (x) - 2 \sqrt{1 - x^{2}}$

解题步骤 1

根据加法法则， $2 x \arccos (x) - 2 \sqrt{1 - x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x \arccos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{1 - x^{2}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x \arccos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{1 - x^{2}}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x \arccos (x)]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x \arccos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x \arccos (x)]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x \arccos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{1 - x^{2}}]$

解题步骤 2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \arccos (x)$ 。

$2 (x \frac{d}{d x} [\arccos (x)] + \arccos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{1 - x^{2}}]$

解题步骤 2.3

$\arccos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ 。

$2 (x (- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}) + \arccos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{1 - x^{2}}]$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 (x (- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}) + \arccos (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{1 - x^{2}}]$

解题步骤 2.5

组合 $x$ 和 $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ 。

$2 (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{1 - x^{2}}]$

解题步骤 2.6

将 $\arccos (x)$ 乘以 $1$ 。

$2 (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{1 - x^{2}}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{1 - x^{2}}]$ 。

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解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 - x^{2}}$ 重写成 ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.2

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ 。

$2 (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x)) - 2 \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 1 - x^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 - x^{2}$ 。

$2 (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x)) - 2 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$2 (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x)) - 2 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

解题步骤 3.3.3

使用 $1 - x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x)) - 2 (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

解题步骤 3.4

根据加法法则， $1 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$2 (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x)) - 2 (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))$

解题步骤 3.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x)) - 2 (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))$

解题步骤 3.6

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$2 (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x)) - 2 (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

解题步骤 3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x)) - 2 (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x)))$

解题步骤 3.8

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x)) - 2 (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - (2 x)))$

解题步骤 3.9

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$2 (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x)) - 2 (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x)))$

解题步骤 3.10

在公分母上合并分子。

$2 (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x)) - 2 (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x)))$

解题步骤 3.11

化简分子。

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解题步骤 3.11.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x)) - 2 (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - (2 x)))$

解题步骤 3.11.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$2 (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x)) - 2 (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 - (2 x)))$

解题步骤 3.12

将负号移到分数的前面。

$2 (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x)) - 2 (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - (2 x)))$

解题步骤 3.13

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x)) - 2 (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - 2 x))$

解题步骤 3.14

从 $0$ 中减去 $2 x$ 。

$2 (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x)) - 2 (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (- 2 x))$

解题步骤 3.15

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$2 (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x)) - 2 (\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (- 2 x))$

解题步骤 3.16

组合 $- 2$ 和 $\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$2 (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x)) - 2 (\frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} x)$

解题步骤 3.17

组合 $\frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $x$ 。

$2 (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x)) - 2 \frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2}$

解题步骤 3.18

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$2 (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x)) - 2 \frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.19

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x)) - 2 \frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.20

约去公因数。

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解题步骤 3.20.1

从 $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x)) - 2 \frac{2 (- x)}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 3.20.2

约去公因数。

$2 (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x)) - 2 \frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.20.3

重写表达式。

$2 (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x)) - 2 \frac{- x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.21

将负号移到分数的前面。

$2 (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x)) - 2 (- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 3.22

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$2 (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x)) + 2 \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.23

组合 $2$ 和 $\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$2 (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x)) + \frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$2 (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}) + 2 \arccos (x) + \frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.2

合并项。

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解题步骤 4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 2 \arccos (x) + \frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.2.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ 。

$\frac{- 2 x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 2 \arccos (x) + \frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.2.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 2 \arccos (x) + \frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.3

重新排序项。

$\frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 2 \arccos (x)$

解题步骤 4.4

化简每一项。

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解题步骤 4.4.1

化简分母。

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解题步骤 4.4.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 x}{\sqrt{1^{2} - x^{2}}} + 2 \arccos (x)$

解题步骤 4.4.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$\frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} + 2 \arccos (x)$

解题步骤 4.4.2

将 $\frac{2 x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ 。

$\frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{2 x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}) + 2 \arccos (x)$

解题步骤 4.4.3

合并和化简分母。

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解题步骤 4.4.3.1

将 $\frac{2 x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ 。

$\frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}} + 2 \arccos (x)$

解题步骤 4.4.3.2

对 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}} + 2 \arccos (x)$

解题步骤 4.4.3.3

对 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1}} + 2 \arccos (x)$

解题步骤 4.4.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}} + 2 \arccos (x)$

解题步骤 4.4.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}} + 2 \arccos (x)$

解题步骤 4.4.3.6

将 ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ 重写为 $(1 + x) (1 - x)$ 。

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解题步骤 4.4.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 重写成 ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 2 \arccos (x)$

解题步骤 4.4.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + 2 \arccos (x)$

解题步骤 4.4.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}} + 2 \arccos (x)$

解题步骤 4.4.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.3.6.4.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}} + 2 \arccos (x)$

解题步骤 4.4.3.6.4.2

重写表达式。

$\frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{1}} + 2 \arccos (x)$

解题步骤 4.4.3.6.5

化简。

$\frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)} + 2 \arccos (x)$

解题步骤 4.5

要将 $\frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{(1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)}$ 。

$\frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} - \frac{2 x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)} + 2 \arccos (x)$

解题步骤 4.6

要将 $- \frac{2 x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} - \frac{2 x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)} \cdot \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 \arccos (x)$

解题步骤 4.7

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 的形式。

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解题步骤 4.7.1

将 $\frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{(1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)}$ 。

$\frac{2 x ((1 + x) (1 - x))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} ((1 + x) (1 - x))} - \frac{2 x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)} \cdot \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 \arccos (x)$

解题步骤 4.7.2

将 $\frac{2 x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$ 乘以 $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{2 x ((1 + x) (1 - x))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} ((1 + x) (1 - x))} - \frac{2 x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{(1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 \arccos (x)$

解题步骤 4.7.3

重新排序 ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} ((1 + x) (1 - x))$ 的因式。

$\frac{2 x ((1 + x) (1 - x))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)} - \frac{2 x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{(1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 \arccos (x)$

解题步骤 4.7.4

重新排序 $(1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 的因式。

$\frac{2 x ((1 + x) (1 - x))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)} - \frac{2 x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)} + 2 \arccos (x)$

解题步骤 4.8

在公分母上合并分子。

$\frac{2 x ((1 + x) (1 - x)) - 2 x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)} + 2 \arccos (x)$

解题步骤 4.9

化简分子。

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解题步骤 4.9.1

从 $2 x ((1 + x) (1 - x)) - 2 x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

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解题步骤 4.9.1.1

从 $- 2 x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{2 x ((1 + x) (1 - x)) + 2 x (- \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)} + 2 \arccos (x)$

解题步骤 4.9.1.2

从 $2 x ((1 + x) (1 - x)) + 2 x (- \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{2 x ((1 + x) (1 - x) - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)} + 2 \arccos (x)$

解题步骤 4.9.2

使用 FOIL 方法展开 $(1 + x) (1 - x)$ 。

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解题步骤 4.9.2.1

运用分配律。

$\frac{2 x (1 (1 - x) + x (1 - x) - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)} + 2 \arccos (x)$

解题步骤 4.9.2.2

运用分配律。

$\frac{2 x (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)} + 2 \arccos (x)$

解题步骤 4.9.2.3

运用分配律。

$\frac{2 x (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)} + 2 \arccos (x)$

解题步骤 4.9.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.9.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.9.3.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x (1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)} + 2 \arccos (x)$

解题步骤 4.9.3.1.2

将 $- x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x (1 - x + x \cdot 1 + x (- x) - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)} + 2 \arccos (x)$

解题步骤 4.9.3.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x (1 - x + x + x (- x) - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)} + 2 \arccos (x)$

解题步骤 4.9.3.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 x (1 - x + x - x \cdot x - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)} + 2 \arccos (x)$

解题步骤 4.9.3.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.9.3.1.5.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 x (1 - x + x - (x \cdot x) - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)} + 2 \arccos (x)$

解题步骤 4.9.3.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 x (1 - x + x - x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)} + 2 \arccos (x)$

解题步骤 4.9.3.2

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{2 x (1 + 0 - x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)} + 2 \arccos (x)$

解题步骤 4.9.3.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 x (1 - x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)} + 2 \arccos (x)$

解题步骤 4.10

要将 $2 \arccos (x)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{(1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{(1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{2 x (1 - x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)} + 2 \arccos (x) \cdot \frac{(1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{(1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.11

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 的形式。

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解题步骤 4.11.1

组合 $2 \arccos (x)$ 和 $\frac{(1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{(1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{2 x (1 - x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)} + \frac{2 \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.11.2

重新排序 $(1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 的因式。

解题步骤 4.12

在公分母上合并分子。

$\frac{2 x (1 - x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + 2 \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.13

化简分子。

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解题步骤 4.13.1

从 $2 x (1 - x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + 2 \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 4.13.1.1

从 $2 x (1 - x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x (1 - x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})) + 2 \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.13.1.2

从 $2 \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x (1 - x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})) + 2 (\arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.13.1.3

从 $2 (x (1 - x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})) + 2 (\arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x (1 - x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.13.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 重写成 ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 (x (1 - x^{2} - {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.13.3

化简每一项。

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解题步骤 4.13.3.1

使用 FOIL 方法展开 $(1 + x) (1 - x)$ 。

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解题步骤 4.13.3.1.1

运用分配律。

$\frac{2 (x (1 - x^{2} - {(1 (1 - x) + x (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.13.3.1.2

运用分配律。

$\frac{2 (x (1 - x^{2} - {(1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.13.3.1.3

运用分配律。

$\frac{2 (x (1 - x^{2} - {(1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.13.3.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.13.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.13.3.2.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 (x (1 - x^{2} - {(1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.13.3.2.1.2

将 $- x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 (x (1 - x^{2} - {(1 - x + x \cdot 1 + x (- x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.13.3.2.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 (x (1 - x^{2} - {(1 - x + x + x (- x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.13.3.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 (x (1 - x^{2} - {(1 - x + x - x \cdot x)}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.13.3.2.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.13.3.2.1.5.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 (x (1 - x^{2} - {(1 - x + x - (x \cdot x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.13.3.2.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 (x (1 - x^{2} - {(1 - x + x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.13.3.2.2

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{2 (x (1 - x^{2} - {(1 + 0 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.13.3.2.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 (x (1 - x^{2} - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.13.3.3

通过指数相加将 ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.13.3.3.1

移动 ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 (x (1 - x^{2} - ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})) + \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.13.3.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 (x (1 - x^{2} - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}) + \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.13.3.3.3

在公分母上合并分子。

$\frac{2 (x (1 - x^{2} - {(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}) + \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.13.3.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 (x (1 - x^{2} - {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}) + \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.13.3.3.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{2 (x (1 - x^{2} - {(1 - x^{2})}^{1}) + \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.13.3.4

化简 $- {(1 - x^{2})}^{1}$ 。

$\frac{2 (x (1 - x^{2} - (1 - x^{2})) + \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.13.3.5

运用分配律。

$\frac{2 (x (1 - x^{2} - 1 \cdot 1 - - x^{2}) + \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.13.3.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 (x (1 - x^{2} - 1 - - x^{2}) + \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.13.3.7

乘以 $- - x^{2}$ 。

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解题步骤 4.13.3.7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 (x (1 - x^{2} - 1 + 1 x^{2}) + \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.13.3.7.2

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 (x (1 - x^{2} - 1 + x^{2}) + \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.13.4

合并 $1 - x^{2} - 1 + x^{2}$ 中相反的项。

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解题步骤 4.13.4.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{2 (x (- x^{2} + 0 + x^{2}) + \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.13.4.2

将 $- x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 (x (- x^{2} + x^{2}) + \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.13.4.3

将 $- x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$\frac{2 (x \cdot 0 + \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.13.5

将 $x$ 乘以 $0$ 。

$\frac{2 (0 + \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.13.6

使用 FOIL 方法展开 $(1 + x) (1 - x)$ 。

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解题步骤 4.13.6.1

运用分配律。

$\frac{2 (0 + \arccos (x) ((1 (1 - x) + x (1 - x)) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.13.6.2

运用分配律。

$\frac{2 (0 + \arccos (x) ((1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.13.6.3

运用分配律。

$\frac{2 (0 + \arccos (x) ((1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.13.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.13.7.1

化简每一项。

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解题步骤 4.13.7.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 (0 + \arccos (x) ((1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.13.7.1.2

将 $- x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 (0 + \arccos (x) ((1 - x + x \cdot 1 + x (- x)) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.13.7.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 (0 + \arccos (x) ((1 - x + x + x (- x)) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.13.7.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 (0 + \arccos (x) ((1 - x + x - x \cdot x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.13.7.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.13.7.1.5.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 (0 + \arccos (x) ((1 - x + x - (x \cdot x)) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.13.7.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 (0 + \arccos (x) ((1 - x + x - x^{2}) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.13.7.2

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{2 (0 + \arccos (x) ((1 + 0 - x^{2}) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.13.7.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 (0 + \arccos (x) ((1 - x^{2}) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.13.8

通过指数相加将 $1 - x^{2}$ 乘以 ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.13.8.1

将 $1 - x^{2}$ 乘以 ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.13.8.1.1

对 $1 - x^{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (0 + \arccos (x) ({(1 - x^{2})}^{1} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.13.8.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 (0 + \arccos (x) {(1 - x^{2})}^{1 + \frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.13.8.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{2 (0 + \arccos (x) {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.13.8.3

在公分母上合并分子。

$\frac{2 (0 + \arccos (x) {(1 - x^{2})}^{\frac{2 + 1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.13.8.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 (0 + \arccos (x) {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.13.9

将 $0$ 和 $\arccos (x) {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ 相加。

$\frac{2 \arccos (x) {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.14

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$\frac{2 \arccos (x) {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{(1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.15

化简分子。

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解题步骤 4.15.1

通过指数相加将 ${(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ 乘以 ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.15.1.1

移动 ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 \arccos (x) ({(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{(1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.15.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 \arccos (x) {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}}}{(1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.15.1.3

在公分母上合并分子。

$\frac{2 \arccos (x) {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1 + 3}{2}}}{(1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.15.1.4

将 $- 1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{2 \arccos (x) {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{(1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.15.1.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{2 \arccos (x) {(1 - x^{2})}^{1}}{(1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.15.2

化简 $2 \arccos (x) {(1 - x^{2})}^{1}$ 。

$\frac{2 \arccos (x) (1 - x^{2})}{(1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.16

化简分子。

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解题步骤 4.16.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{2 \arccos (x) (1^{2} - x^{2})}{(1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.16.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$\frac{2 \arccos (x) (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.17

约去 $1 + x$ 的公因数。

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解题步骤 4.17.1

约去公因数。

$\frac{2 \arccos (x) (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.17.2

重写表达式。

$\frac{2 \arccos (x) (1 - x)}{1 - x}$

解题步骤 4.18

约去 $1 - x$ 的公因数。

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解题步骤 4.18.1

约去公因数。

$\frac{2 \arccos (x) (1 - x)}{1 - x}$

解题步骤 4.18.2

用 $2 \arccos (x)$ 除以 $1$ 。

$2 \arccos (x)$

微积分学 示例

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