微积分学示例

$y = 3 \sqrt[3]{2 x^{2} + 1}$

解题步骤 1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{2 x^{2} + 1}$ 重写成 ${(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{d}{d x} [3 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (x) = 2 x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x^{2} + 1$ 。

$3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$3 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

解题步骤 2.3

使用 $2 x^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 (\frac{1}{3} {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

解题步骤 3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$3 (\frac{1}{3} {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

解题步骤 4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$3 (\frac{1}{3} {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$3 (\frac{1}{3} {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$3 (\frac{1}{3} {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

解题步骤 6.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$3 (\frac{1}{3} {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

解题步骤 7

化简项。

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解题步骤 7.1

将负号移到分数的前面。

$3 (\frac{1}{3} {(2 x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

解题步骤 7.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 ${(2 x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ 。

$3 (\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

解题步骤 7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(2 x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$3 (\frac{1}{3 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

解题步骤 7.4

组合 $\frac{1}{3 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ 和 $3$ 。

$\frac{3}{3 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1]$

解题步骤 7.5

约去公因数。

$\frac{3}{3 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1]$

解题步骤 7.6

重写表达式。

$\frac{1}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1]$

解题步骤 8

根据加法法则， $2 x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{1}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 9

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{1}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 11

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (4 x + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 12

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (4 x + 0)$

解题步骤 13

合并分数。

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解题步骤 13.1

将 $4 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (4 x)$

解题步骤 13.2

组合 $4$ 和 $\frac{1}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{4}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} x$

解题步骤 13.3

组合 $\frac{4}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{4 x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

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