微积分学示例

$y = 3 (4 x + \ln ({(x^{2})}^{2}))$

解题步骤 1

求微分。

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解题步骤 1.1

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d}{d x} [3 (4 x + \ln (x^{2 \cdot 2}))]$

解题步骤 1.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [3 (4 x + \ln (x^{4}))]$

解题步骤 1.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 (4 x + \ln (x^{4}))$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [4 x + \ln (x^{4})]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [4 x + \ln (x^{4})]$

解题步骤 1.3

根据加法法则， $4 x + \ln (x^{4})$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{4})]$ 。

$3 (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{4})])$

解题步骤 1.4

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{4})])$

解题步骤 1.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (x^{4})])$

解题步骤 1.6

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$3 (4 + \frac{d}{d x} [\ln (x^{4})])$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{4}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{4}$ 。

$3 (4 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$3 (4 + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 2.3

使用 $x^{4}$ 替换所有出现的 $u$ 。

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解题步骤 2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3 (4 + \frac{1}{x^{2 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 2.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$3 (4 + \frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$3 (4 + \frac{1}{x^{4}} (4 x^{3}))$

解题步骤 3.2

化简项。

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解题步骤 3.2.1

组合 $4$ 和 $\frac{1}{x^{4}}$ 。

$3 (4 + \frac{4}{x^{4}} x^{3})$

解题步骤 3.2.2

组合 $\frac{4}{x^{4}}$ 和 $x^{3}$ 。

$3 (4 + \frac{4 x^{3}}{x^{4}})$

解题步骤 3.2.3

约去 $x^{3}$ 和 $x^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.3.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$3 (4 + \frac{x^{3} \cdot 4}{x^{4}})$

解题步骤 3.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 3.2.3.2.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$3 (4 + \frac{x^{3} \cdot 4}{x^{3} x})$

解题步骤 3.2.3.2.2

约去公因数。

$3 (4 + \frac{x^{3} \cdot 4}{x^{3} x})$

解题步骤 3.2.3.2.3

重写表达式。

$3 (4 + \frac{4}{x})$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$3 \cdot 4 + 3 \frac{4}{x}$

解题步骤 4.2

合并项。

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解题步骤 4.2.1

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$12 + 3 \frac{4}{x}$

解题步骤 4.2.2

组合 $3$ 和 $\frac{4}{x}$ 。

$12 + \frac{3 \cdot 4}{x}$

解题步骤 4.2.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$12 + \frac{12}{x}$

解题步骤 4.3

重新排序项。

$\frac{12}{x} + 12$

微积分学 示例

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