微积分学示例

$y = 3 (\cos (x) + \sin (x)) \cdot (\cos (x) - \sin (x))$

解题步骤 1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \cos (x) + \sin (x)$ 且 $g (x) = \cos (x) - \sin (x)$ 。

$3 ((\cos (x) + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)] + (\cos (x) - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x) + \sin (x)])$

解题步骤 3

根据加法法则， $\cos (x) - \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 。

$3 ((\cos (x) + \sin (x)) (\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) + (\cos (x) - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x) + \sin (x)])$

解题步骤 4

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$3 ((\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) + (\cos (x) - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x) + \sin (x)])$

解题步骤 5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$3 ((\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x) - \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + (\cos (x) - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x) + \sin (x)])$

解题步骤 6

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$3 ((\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x) - \cos (x)) + (\cos (x) - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x) + \sin (x)])$

解题步骤 7

根据加法法则， $\cos (x) + \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$3 ((\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x) - \cos (x)) + (\cos (x) - \sin (x)) (\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

解题步骤 8

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$3 ((\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x) - \cos (x)) + (\cos (x) - \sin (x)) (- \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

解题步骤 9

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$3 ((\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x) - \cos (x)) + (\cos (x) - \sin (x)) (- \sin (x) + \cos (x)))$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

运用分配律。

$3 ((\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x) - \cos (x))) + 3 ((\cos (x) - \sin (x)) (- \sin (x) + \cos (x)))$

解题步骤 10.2

去掉圆括号。

$3 (\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x) - \cos (x)) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (- \sin (x) + \cos (x))$

解题步骤 10.3

重新排序项。

$3 (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x)) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

解题步骤 10.4

化简每一项。

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解题步骤 10.4.1

运用分配律。

$(3 (- \sin (x)) + 3 (- \cos (x))) (\cos (x) + \sin (x)) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

解题步骤 10.4.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$(- 3 \sin (x) + 3 (- \cos (x))) (\cos (x) + \sin (x)) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

解题步骤 10.4.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$(- 3 \sin (x) - 3 \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x)) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

解题步骤 10.4.4

使用 FOIL 方法展开 $(- 3 \sin (x) - 3 \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))$ 。

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解题步骤 10.4.4.1

运用分配律。

$- 3 \sin (x) (\cos (x) + \sin (x)) - 3 \cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

解题步骤 10.4.4.2

运用分配律。

$- 3 \sin (x) \cos (x) - 3 \sin (x) \sin (x) - 3 \cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

解题步骤 10.4.4.3

运用分配律。

$- 3 \sin (x) \cos (x) - 3 \sin (x) \sin (x) - 3 \cos (x) \cos (x) - 3 \cos (x) \sin (x) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

解题步骤 10.4.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 10.4.5.1

化简每一项。

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解题步骤 10.4.5.1.1

乘以 $- 3 \sin (x) \sin (x)$ 。

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解题步骤 10.4.5.1.1.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 3 \sin (x) \cos (x) - 3 (\sin^{1} (x) \sin (x)) - 3 \cos (x) \cos (x) - 3 \cos (x) \sin (x) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

解题步骤 10.4.5.1.1.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 3 \sin (x) \cos (x) - 3 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - 3 \cos (x) \cos (x) - 3 \cos (x) \sin (x) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

解题步骤 10.4.5.1.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 3 \sin (x) \cos (x) - 3 {\sin (x)}^{1 + 1} - 3 \cos (x) \cos (x) - 3 \cos (x) \sin (x) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

解题步骤 10.4.5.1.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 3 \sin (x) \cos (x) - 3 \sin^{2} (x) - 3 \cos (x) \cos (x) - 3 \cos (x) \sin (x) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

解题步骤 10.4.5.1.2

乘以 $- 3 \cos (x) \cos (x)$ 。

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解题步骤 10.4.5.1.2.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 3 \sin (x) \cos (x) - 3 \sin^{2} (x) - 3 (\cos^{1} (x) \cos (x)) - 3 \cos (x) \sin (x) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

解题步骤 10.4.5.1.2.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 3 \sin (x) \cos (x) - 3 \sin^{2} (x) - 3 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) - 3 \cos (x) \sin (x) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

解题步骤 10.4.5.1.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 3 \sin (x) \cos (x) - 3 \sin^{2} (x) - 3 {\cos (x)}^{1 + 1} - 3 \cos (x) \sin (x) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

解题步骤 10.4.5.1.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 3 \sin (x) \cos (x) - 3 \sin^{2} (x) - 3 \cos^{2} (x) - 3 \cos (x) \sin (x) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

解题步骤 10.4.5.2

重新排序 $- 3 \sin (x) \cos (x)$ 的因式。

$- 3 \cos (x) \sin (x) - 3 \sin^{2} (x) - 3 \cos^{2} (x) - 3 \cos (x) \sin (x) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

解题步骤 10.4.5.3

从 $- 3 \cos (x) \sin (x)$ 中减去 $3 \cos (x) \sin (x)$ 。

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 \sin^{2} (x) - 3 \cos^{2} (x) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

解题步骤 10.4.6

从 $- 3 \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 3$ 。

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 (\sin^{2} (x)) - 3 \cos^{2} (x) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

解题步骤 10.4.7

从 $- 3 \cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 3$ 。

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 (\sin^{2} (x)) - 3 (\cos^{2} (x)) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

解题步骤 10.4.8

从 $- 3 (\sin^{2} (x)) - 3 (\cos^{2} (x))$ 中分解出因数 $- 3$ 。

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

解题步骤 10.4.9

使用勾股恒等式。

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 \cdot 1 + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

解题步骤 10.4.10

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

解题步骤 10.4.11

运用分配律。

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 + (3 (- \sin (x)) + 3 \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

解题步骤 10.4.12

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 + (- 3 \sin (x) + 3 \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

解题步骤 10.4.13

使用 FOIL 方法展开 $(- 3 \sin (x) + 3 \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ 。

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解题步骤 10.4.13.1

运用分配律。

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) (\cos (x) - \sin (x)) + 3 \cos (x) (\cos (x) - \sin (x))$

解题步骤 10.4.13.2

运用分配律。

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) \cos (x) - 3 \sin (x) (- \sin (x)) + 3 \cos (x) (\cos (x) - \sin (x))$

解题步骤 10.4.13.3

运用分配律。

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) \cos (x) - 3 \sin (x) (- \sin (x)) + 3 \cos (x) \cos (x) + 3 \cos (x) (- \sin (x))$

解题步骤 10.4.14

化简并合并同类项。

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解题步骤 10.4.14.1

化简每一项。

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解题步骤 10.4.14.1.1

乘以 $- 3 \sin (x) (- \sin (x))$ 。

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解题步骤 10.4.14.1.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) \cos (x) + 3 \sin (x) \sin (x) + 3 \cos (x) \cos (x) + 3 \cos (x) (- \sin (x))$

解题步骤 10.4.14.1.1.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) \cos (x) + 3 (\sin^{1} (x) \sin (x)) + 3 \cos (x) \cos (x) + 3 \cos (x) (- \sin (x))$

解题步骤 10.4.14.1.1.3

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) \cos (x) + 3 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + 3 \cos (x) \cos (x) + 3 \cos (x) (- \sin (x))$

解题步骤 10.4.14.1.1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) \cos (x) + 3 {\sin (x)}^{1 + 1} + 3 \cos (x) \cos (x) + 3 \cos (x) (- \sin (x))$

解题步骤 10.4.14.1.1.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) \cos (x) + 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos (x) \cos (x) + 3 \cos (x) (- \sin (x))$

解题步骤 10.4.14.1.2

乘以 $3 \cos (x) \cos (x)$ 。

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解题步骤 10.4.14.1.2.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) \cos (x) + 3 \sin^{2} (x) + 3 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 3 \cos (x) (- \sin (x))$

解题步骤 10.4.14.1.2.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) \cos (x) + 3 \sin^{2} (x) + 3 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 3 \cos (x) (- \sin (x))$

解题步骤 10.4.14.1.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) \cos (x) + 3 \sin^{2} (x) + 3 {\cos (x)}^{1 + 1} + 3 \cos (x) (- \sin (x))$

解题步骤 10.4.14.1.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) \cos (x) + 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x) + 3 \cos (x) (- \sin (x))$

解题步骤 10.4.14.1.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) \cos (x) + 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x) - 3 \cos (x) \sin (x)$

解题步骤 10.4.14.2

重新排序 $- 3 \sin (x) \cos (x)$ 的因式。

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \cos (x) \sin (x) + 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x) - 3 \cos (x) \sin (x)$

解题步骤 10.4.14.3

从 $- 3 \cos (x) \sin (x)$ 中减去 $3 \cos (x) \sin (x)$ 。

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 6 \cos (x) \sin (x) + 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x)$

解题步骤 10.4.15

从 $3 \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 6 \cos (x) \sin (x) + 3 (\sin^{2} (x)) + 3 \cos^{2} (x)$

解题步骤 10.4.16

从 $3 \cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 6 \cos (x) \sin (x) + 3 (\sin^{2} (x)) + 3 (\cos^{2} (x))$

解题步骤 10.4.17

从 $3 (\sin^{2} (x)) + 3 (\cos^{2} (x))$ 中分解出因数 $3$ 。

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 6 \cos (x) \sin (x) + 3 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

解题步骤 10.4.18

使用勾股恒等式。

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 6 \cos (x) \sin (x) + 3 \cdot 1$

解题步骤 10.4.19

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 6 \cos (x) \sin (x) + 3$

解题步骤 10.5

合并 $- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 6 \cos (x) \sin (x) + 3$ 中相反的项。

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解题步骤 10.5.1

将 $- 3$ 和 $3$ 相加。

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x) \sin (x) + 0$

解题步骤 10.5.2

将 $- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x) \sin (x)$ 和 $0$ 相加。

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x) \sin (x)$

解题步骤 10.6

从 $- 6 \cos (x) \sin (x)$ 中减去 $6 \cos (x) \sin (x)$ 。

$- 12 \cos (x) \sin (x)$

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