微积分学示例

$y = 2 \csc^{3} (\sqrt{x})$

解题步骤 1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [2 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}})$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\csc^{3} (x^{\frac{1}{2}})]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [\csc^{3} (x^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = \csc (x^{\frac{1}{2}})$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\csc (x^{\frac{1}{2}})$ 。

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\csc (x^{\frac{1}{2}})])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$2 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\csc (x^{\frac{1}{2}})])$

解题步骤 2.3

使用 $\csc (x^{\frac{1}{2}})$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$2 (3 \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [\csc (x^{\frac{1}{2}})])$

解题步骤 3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$6 (\csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [\csc (x^{\frac{1}{2}})])$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \csc (x)$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$6 \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 4.2

$\csc (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ 。

$6 \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 4.3

使用 $x^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$6 \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (- \csc (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 5

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$- 6 \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\csc (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 6

对 $\csc (x^{\frac{1}{2}})$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 6 (\csc^{1} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}})) (\cot (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 6 {\csc (x^{\frac{1}{2}})}^{1 + 2} (\cot (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 8

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$- 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) (\cot (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$- 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

解题步骤 10

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 11

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 12

在公分母上合并分子。

$- 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 13

化简分子。

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解题步骤 13.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

解题步骤 13.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$- 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

解题步骤 14

将负号移到分数的前面。

$- 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

解题步骤 15

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$- 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 16

组合 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $- 6$ 。

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot - 6}{2} \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 17

组合 $\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot - 6}{2}$ 和 $\csc^{3} (x^{\frac{1}{2}})$ 。

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot - 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{2} \cot (x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 18

组合 $\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot - 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{2}$ 和 $\cot (x^{\frac{1}{2}})$ 。

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot - 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}})}{2}$

解题步骤 19

化简表达式。

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解题步骤 19.1

将 $- 6$ 移到 $x^{- \frac{1}{2}}$ 的左侧。

$\frac{- 6 \cdot x^{- \frac{1}{2}} \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}})}{2}$

解题步骤 19.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{- 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 20

从 $- 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 3 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 21

约去公因数。

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解题步骤 21.1

从 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 3 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}))}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 21.2

约去公因数。

$\frac{2 (- 3 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 21.3

重写表达式。

$\frac{- 3 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 22

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$

微积分学 示例

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