微积分学示例

$y = 8 \arcsin (\frac{x}{4}) - \frac{x \sqrt{16 - x^{2}}}{2}$

解题步骤 1

根据加法法则， $8 \arcsin (\frac{x}{4}) - \frac{x \sqrt{16 - x^{2}}}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [8 \arcsin (\frac{x}{4})] + \frac{d}{d x} [- \frac{x \sqrt{16 - x^{2}}}{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [8 \arcsin (\frac{x}{4})] + \frac{d}{d x} [- \frac{x \sqrt{16 - x^{2}}}{2}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [8 \arcsin (\frac{x}{4})]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 \arcsin (\frac{x}{4})$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [\arcsin (\frac{x}{4})]$ 。

$8 \frac{d}{d x} [\arcsin (\frac{x}{4})] + \frac{d}{d x} [- \frac{x \sqrt{16 - x^{2}}}{2}]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arcsin (x)$ 且 $g (x) = \frac{x}{4}$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\frac{x}{4}$ 。

$8 (\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x \sqrt{16 - x^{2}}}{2}]$

解题步骤 2.2.2

$\arcsin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ 。

$8 (\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x \sqrt{16 - x^{2}}}{2}]$

解题步骤 2.2.3

使用 $\frac{x}{4}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$8 (\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x \sqrt{16 - x^{2}}}{2}]$

解题步骤 2.3

因为 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$8 (\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} (\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- \frac{x \sqrt{16 - x^{2}}}{2}]$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$8 (\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} (\frac{1}{4} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- \frac{x \sqrt{16 - x^{2}}}{2}]$

解题步骤 2.5

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $1$ 。

$8 (\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} \cdot \frac{1}{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{x \sqrt{16 - x^{2}}}{2}]$

解题步骤 2.6

将 $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$8 \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}} \cdot 4} + \frac{d}{d x} [- \frac{x \sqrt{16 - x^{2}}}{2}]$

解题步骤 2.7

将 $4$ 移到 $\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}$ 的左侧。

$8 \frac{1}{4 \cdot \sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{x \sqrt{16 - x^{2}}}{2}]$

解题步骤 2.8

组合 $8$ 和 $\frac{1}{4 \sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}}$ 。

$\frac{8}{4 \sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{x \sqrt{16 - x^{2}}}{2}]$

解题步骤 2.9

约去 $8$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.9.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 2}{4 \sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{x \sqrt{16 - x^{2}}}{2}]$

解题步骤 2.9.2

约去公因数。

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解题步骤 2.9.2.1

从 $4 \sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 2}{4 (\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}})} + \frac{d}{d x} [- \frac{x \sqrt{16 - x^{2}}}{2}]$

解题步骤 2.9.2.2

约去公因数。

$\frac{4 \cdot 2}{4 \sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{x \sqrt{16 - x^{2}}}{2}]$

解题步骤 2.9.2.3

重写表达式。

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{x \sqrt{16 - x^{2}}}{2}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{x \sqrt{16 - x^{2}}}{2}]$ 。

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解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{16 - x^{2}}$ 重写成 ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{x {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}]$

解题步骤 3.2

因为 $- \frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{x {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ 。

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - \frac{1}{2} (x \frac{d}{d x} [{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 16 - x^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $16 - x^{2}$ 。

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - \frac{1}{2} (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - \frac{1}{2} (x (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.4.3

使用 $16 - x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - \frac{1}{2} (x (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.5

根据加法法则， $16 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - \frac{1}{2} (x (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.6

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $16$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - \frac{1}{2} (x (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.7

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - \frac{1}{2} (x (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}])) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - \frac{1}{2} (x (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x))) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - \frac{1}{2} (x (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x))) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

解题步骤 3.10

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - \frac{1}{2} (x (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - (2 x))) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

解题步骤 3.11

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - \frac{1}{2} (x (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x))) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

解题步骤 3.12

在公分母上合并分子。

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - \frac{1}{2} (x (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x))) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

解题步骤 3.13

化简分子。

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解题步骤 3.13.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - \frac{1}{2} (x (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - (2 x))) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

解题步骤 3.13.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - \frac{1}{2} (x (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 - (2 x))) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

解题步骤 3.14

将负号移到分数的前面。

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - \frac{1}{2} (x (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - (2 x))) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

解题步骤 3.15

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - \frac{1}{2} (x (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - 2 x)) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

解题步骤 3.16

从 $0$ 中减去 $2 x$ 。

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - \frac{1}{2} (x (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (- 2 x)) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

解题步骤 3.17

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - \frac{1}{2} (x (\frac{{(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (- 2 x)) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

解题步骤 3.18

组合 $- 2$ 和 $\frac{{(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - \frac{1}{2} (x (\frac{- 2 {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} x) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

解题步骤 3.19

组合 $\frac{- 2 {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $x$ 。

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - \frac{1}{2} (x \frac{- 2 {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

解题步骤 3.20

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - \frac{1}{2} (x \frac{- 2 x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

解题步骤 3.21

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - \frac{1}{2} (x \frac{2 (- x)}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

解题步骤 3.22

约去公因数。

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解题步骤 3.22.1

从 $2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - \frac{1}{2} (x \frac{2 (- x)}{2 ({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

解题步骤 3.22.2

约去公因数。

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - \frac{1}{2} (x \frac{2 (- x)}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

解题步骤 3.22.3

重写表达式。

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - \frac{1}{2} (x \frac{- x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

解题步骤 3.23

将负号移到分数的前面。

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - \frac{1}{2} (x (- \frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

解题步骤 3.24

组合 $x$ 和 $\frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cdot x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

解题步骤 3.25

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - \frac{1}{2} (- \frac{x^{1} x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

解题步骤 3.26

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - \frac{1}{2} (- \frac{x^{1} x^{1}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

解题步骤 3.27

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - \frac{1}{2} (- \frac{x^{1 + 1}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

解题步骤 3.28

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - \frac{1}{2} (- \frac{x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

解题步骤 3.29

将 ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - \frac{1}{2} (- \frac{x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 3.30

要将 ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - \frac{1}{2} (- \frac{x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 3.31

在公分母上合并分子。

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{2} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.32

通过指数相加将 ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.32.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{2} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.32.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{2} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.32.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{2} + {(16 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.32.4

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{2} + {(16 - x^{2})}^{1}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.33

化简 ${(16 - x^{2})}^{1}$ 。

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{2} + 16 - x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.34

从 $- x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{- 2 x^{2} + 16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.35

将 $\frac{- 2 x^{2} + 16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - \frac{- 2 x^{2} + 16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

解题步骤 3.36

将 $2$ 移到 ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - \frac{- 2 x^{2} + 16}{2 \cdot {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.37

从 $- 2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - \frac{2 (- x^{2}) + 16}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.38

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - \frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot 8}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.39

从 $2 (- x^{2}) + 2 (8)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - \frac{2 (- x^{2} + 8)}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.40

约去公因数。

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解题步骤 3.40.1

从 $2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - \frac{2 (- x^{2} + 8)}{2 ({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 3.40.2

约去公因数。

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - \frac{2 (- x^{2} + 8)}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.40.3

重写表达式。

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} - \frac{- x^{2} + 8}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

对 $\frac{x}{4}$ 运用乘积法则。

$\frac{2}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4^{2}}}} - \frac{- x^{2} + 8}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.2

合并项。

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解题步骤 4.2.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{2}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}} - \frac{- x^{2} + 8}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.2.2

要将 $\frac{2}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{2}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}} \cdot \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{- x^{2} + 8}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.2.3

要将 $- \frac{- x^{2} + 8}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$ 。

$\frac{2}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}} \cdot \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{- x^{2} + 8}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

解题步骤 4.2.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 的形式。

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解题步骤 4.2.4.1

将 $\frac{2}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$ 乘以 $\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{- x^{2} + 8}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

解题步骤 4.2.4.2

将 $\frac{- x^{2} + 8}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$ 。

$\frac{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{(- x^{2} + 8) \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

解题步骤 4.2.4.3

重新排序 $\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 的因式。

$\frac{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}} - \frac{(- x^{2} + 8) \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

解题步骤 4.2.5

在公分母上合并分子。

$\frac{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (- x^{2} + 8) \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

解题步骤 4.3

重新排序项。

$\frac{- \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}} (- x^{2} + 8) + 2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

解题步骤 4.4

化简分子。

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解题步骤 4.4.1

添加圆括号。

$\frac{- (\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}} (- x^{2} + 8)) + 2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

解题步骤 4.4.2

使 $u = {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.4.2.1

运用分配律。

$\frac{\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} x^{2} + \sqrt{(4 + x) (4 - x)} \cdot - 8 + 2 u \cdot 4}{4}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

解题步骤 4.4.2.2

将 $- 8$ 移到 $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 的左侧。

$\frac{\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} x^{2} - 8 \cdot \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 2 u \cdot 4}{4}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

解题步骤 4.4.2.3

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} x^{2} - 8 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 8 u}{4}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

解题步骤 4.4.3

使用 ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} x^{2} - 8 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 8 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

解题步骤 4.4.4

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 重写成 ${((4 + x) (4 - x))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\frac{{((4 + x) (4 - x))}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 8 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 8 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

解题步骤 4.4.5

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 重写成 ${((4 + x) (4 - x))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\frac{{((4 + x) (4 - x))}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 8 {((4 + x) (4 - x))}^{\frac{1}{2}} + 8 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

解题步骤 4.4.6

使用 FOIL 方法展开 $(4 + x) (4 - x)$ 。

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解题步骤 4.4.6.1

运用分配律。

$\frac{\frac{{(4 (4 - x) + x (4 - x))}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 8 {((4 + x) (4 - x))}^{\frac{1}{2}} + 8 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

解题步骤 4.4.6.2

运用分配律。

$\frac{\frac{{(4 \cdot 4 + 4 (- x) + x (4 - x))}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 8 {((4 + x) (4 - x))}^{\frac{1}{2}} + 8 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

解题步骤 4.4.6.3

运用分配律。

$\frac{\frac{{(4 \cdot 4 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x))}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 8 {((4 + x) (4 - x))}^{\frac{1}{2}} + 8 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

解题步骤 4.4.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.4.7.1

化简每一项。

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解题步骤 4.4.7.1.1

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{\frac{{(16 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x))}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 8 {((4 + x) (4 - x))}^{\frac{1}{2}} + 8 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

解题步骤 4.4.7.1.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{\frac{{(16 - 4 x + x \cdot 4 + x (- x))}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 8 {((4 + x) (4 - x))}^{\frac{1}{2}} + 8 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

解题步骤 4.4.7.1.3

将 $4$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{\frac{{(16 - 4 x + 4 \cdot x + x (- x))}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 8 {((4 + x) (4 - x))}^{\frac{1}{2}} + 8 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

解题步骤 4.4.7.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\frac{{(16 - 4 x + 4 x - x \cdot x)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 8 {((4 + x) (4 - x))}^{\frac{1}{2}} + 8 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

解题步骤 4.4.7.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.4.7.1.5.1

移动 $x$ 。

$\frac{\frac{{(16 - 4 x + 4 x - (x \cdot x))}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 8 {((4 + x) (4 - x))}^{\frac{1}{2}} + 8 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

解题步骤 4.4.7.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{\frac{{(16 - 4 x + 4 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 8 {((4 + x) (4 - x))}^{\frac{1}{2}} + 8 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

解题步骤 4.4.7.2

将 $- 4 x$ 和 $4 x$ 相加。

$\frac{\frac{{(16 + 0 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 8 {((4 + x) (4 - x))}^{\frac{1}{2}} + 8 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

解题步骤 4.4.7.3

将 $16$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 8 {((4 + x) (4 - x))}^{\frac{1}{2}} + 8 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

解题步骤 4.4.8

使用 FOIL 方法展开 $(4 + x) (4 - x)$ 。

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解题步骤 4.4.8.1

运用分配律。

$\frac{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 8 {(4 (4 - x) + x (4 - x))}^{\frac{1}{2}} + 8 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

解题步骤 4.4.8.2

运用分配律。

$\frac{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 8 {(4 \cdot 4 + 4 (- x) + x (4 - x))}^{\frac{1}{2}} + 8 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

解题步骤 4.4.8.3

运用分配律。

$\frac{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 8 {(4 \cdot 4 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x))}^{\frac{1}{2}} + 8 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

解题步骤 4.4.9

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.4.9.1

化简每一项。

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解题步骤 4.4.9.1.1

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 8 {(16 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x))}^{\frac{1}{2}} + 8 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

解题步骤 4.4.9.1.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 8 {(16 - 4 x + x \cdot 4 + x (- x))}^{\frac{1}{2}} + 8 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

解题步骤 4.4.9.1.3

将 $4$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 8 {(16 - 4 x + 4 \cdot x + x (- x))}^{\frac{1}{2}} + 8 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

解题步骤 4.4.9.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 8 {(16 - 4 x + 4 x - x \cdot x)}^{\frac{1}{2}} + 8 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

解题步骤 4.4.9.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.4.9.1.5.1

移动 $x$ 。

$\frac{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 8 {(16 - 4 x + 4 x - (x \cdot x))}^{\frac{1}{2}} + 8 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

解题步骤 4.4.9.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 8 {(16 - 4 x + 4 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 8 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

解题步骤 4.4.9.2

将 $- 4 x$ 和 $4 x$ 相加。

$\frac{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 8 {(16 + 0 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 8 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

解题步骤 4.4.9.3

将 $16$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 8 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 8 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

解题步骤 4.4.10

将 $- 8 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 和 $8 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 相加。

$\frac{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} + 0}{4}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

解题步骤 4.4.11

将 ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{4}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

解题步骤 4.5

化简分母。

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解题步骤 4.5.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{4}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{16}{16} - \frac{x^{2}}{16}}}$

解题步骤 4.5.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{4}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{16 - x^{2}}{16}}}$

解题步骤 4.5.3

以因式分解的形式重写 $\frac{16 - x^{2}}{16}$ 。

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解题步骤 4.5.3.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$\frac{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{4}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{4^{2} - x^{2}}{16}}}$

解题步骤 4.5.3.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 4$ 和 $b = x$ 。

$\frac{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{4}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{16}}}$

解题步骤 4.5.4

将 $\frac{(4 + x) (4 - x)}{16}$ 重写为 ${(\frac{1}{4})}^{2} ((4 + x) (4 - x))$ 。

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解题步骤 4.5.4.1

从 $(4 + x) (4 - x)$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$\frac{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{4}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{16}}}$

解题步骤 4.5.4.2

从 $16$ 中因式分解出完全幂数 $4^{2}$ 。

$\frac{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{4}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{4^{2} \cdot 1}}}$

解题步骤 4.5.4.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{4^{2} \cdot 1}$ 。

$\frac{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{4}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} ((4 + x) (4 - x))}}$

解题步骤 4.5.5

从根式下提出各项。

$\frac{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{4}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{4} \sqrt{(4 + x) (4 - x)})}$

解题步骤 4.5.6

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 。

$\frac{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{4}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4}}$

解题步骤 4.6

组合 ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4}$ 。

$\frac{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{4}}{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4}}$

解题步骤 4.7

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{4} \cdot \frac{4}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}$

解题步骤 4.8

合并。

$\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4}{4 ({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{(4 + x) (4 - x)})}$

解题步骤 4.9

约去公因数。

$\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4}{4 ({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{(4 + x) (4 - x)})}$

解题步骤 4.10

重写表达式。

$\frac{x^{2} \cdot 4}{4 (\sqrt{(4 + x) (4 - x)})}$

解题步骤 4.11

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.11.1

约去公因数。

$\frac{x^{2} \cdot 4}{4 \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}$

解题步骤 4.11.2

重写表达式。

$\frac{x^{2}}{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}$

解题步骤 4.12

将 $\frac{x^{2}}{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}$ 。

$\frac{x^{2}}{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}$

解题步骤 4.13

合并和化简分母。

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解题步骤 4.13.1

将 $\frac{x^{2}}{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}$ 。

$\frac{x^{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}$

解题步骤 4.13.2

对 $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}^{1} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}$

解题步骤 4.13.3

对 $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}^{1} {\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}^{1}}$

解题步骤 4.13.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}^{1 + 1}}$

解题步骤 4.13.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x^{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}^{2}}$

解题步骤 4.13.6

将 ${\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}^{2}$ 重写为 $(4 + x) (4 - x)$ 。

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解题步骤 4.13.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 重写成 ${((4 + x) (4 - x))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{x^{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{{({((4 + x) (4 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.13.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{x^{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{{((4 + x) (4 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.13.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{x^{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{{((4 + x) (4 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.13.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.13.6.4.1

约去公因数。

$\frac{x^{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{{((4 + x) (4 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.13.6.4.2

重写表达式。

$\frac{x^{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{{((4 + x) (4 - x))}^{1}}$

解题步骤 4.13.6.5

化简。

$\frac{x^{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{(4 + x) (4 - x)}$

微积分学 示例

微积分学示例