微积分学示例

$y = 8 x^{2} \cos (x) \cot (x)$

解题步骤 1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x^{2} \cos (x) \cot (x)$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x) \cot (x)]$ 。

$8 \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x) \cot (x)]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2} \cos (x)$ 且 $g (x) = \cot (x)$ 。

$8 (x^{2} \cos (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)])$

解题步骤 3

$\cot (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc^{2} (x)$ 。

$8 (x^{2} \cos (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)])$

解题步骤 4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$8 (x^{2} \cos (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

解题步骤 5

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$8 (x^{2} \cos (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

解题步骤 6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$8 (x^{2} \cos (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)))$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$8 (x^{2} \cos (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (x^{2} (- \sin (x))) + \cot (x) (\cos (x) (2 x)))$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$8 (x^{2} \cos (x) (- \csc^{2} (x))) + 8 (\cot (x) (x^{2} (- \sin (x)))) + 8 (\cot (x) (\cos (x) (2 x)))$

解题步骤 7.3

合并项。

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解题步骤 7.3.1

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$- 8 (x^{2} \cos (x) (\csc^{2} (x))) + 8 (\cot (x) (x^{2} (- \sin (x)))) + 8 (\cot (x) (\cos (x) (2 x)))$

解题步骤 7.3.2

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$- 8 x^{2} \cos (x) \csc^{2} (x) - 8 (\cot (x) x^{2} (\sin (x))) + 8 (\cot (x) (\cos (x) (2 x)))$

解题步骤 7.3.3

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$- 8 x^{2} \cos (x) \csc^{2} (x) - 8 \cot (x) x^{2} \sin (x) + 16 \cot (x) \cos (x) x$

解题步骤 7.4

重新排序项。

$- 8 x^{2} \csc^{2} (x) \cos (x) - 8 x^{2} \cot (x) \sin (x) + 16 x \cos (x) \cot (x)$

解题步骤 7.5

化简每一项。

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解题步骤 7.5.1

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$- 8 x^{2} {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} \cos (x) - 8 x^{2} \cot (x) \sin (x) + 16 x \cos (x) \cot (x)$

解题步骤 7.5.2

对 $\frac{1}{\sin (x)}$ 运用乘积法则。

$- 8 x^{2} \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - 8 x^{2} \cot (x) \sin (x) + 16 x \cos (x) \cot (x)$

解题步骤 7.5.3

一的任意次幂都为一。

$- 8 x^{2} \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - 8 x^{2} \cot (x) \sin (x) + 16 x \cos (x) \cot (x)$

解题步骤 7.5.4

乘以 $- 8 x^{2} \frac{1}{\sin^{2} (x)}$ 。

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解题步骤 7.5.4.1

组合 $- 8$ 和 $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ 。

$x^{2} \frac{- 8}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - 8 x^{2} \cot (x) \sin (x) + 16 x \cos (x) \cot (x)$

解题步骤 7.5.4.2

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{- 8}{\sin^{2} (x)}$ 。

$\frac{x^{2} \cdot - 8}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - 8 x^{2} \cot (x) \sin (x) + 16 x \cos (x) \cot (x)$

解题步骤 7.5.5

将 $- 8$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$\frac{- 8 \cdot x^{2}}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - 8 x^{2} \cot (x) \sin (x) + 16 x \cos (x) \cot (x)$

解题步骤 7.5.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{8 \cdot x^{2}}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - 8 x^{2} \cot (x) \sin (x) + 16 x \cos (x) \cot (x)$

解题步骤 7.5.7

组合 $\cos (x)$ 和 $\frac{8 x^{2}}{\sin^{2} (x)}$ 。

$- \frac{\cos (x) (8 x^{2})}{\sin^{2} (x)} - 8 x^{2} \cot (x) \sin (x) + 16 x \cos (x) \cot (x)$

解题步骤 7.5.8

将 $8$ 移到 $\cos (x)$ 的左侧。

$- \frac{8 \cdot \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 8 x^{2} \cot (x) \sin (x) + 16 x \cos (x) \cot (x)$

解题步骤 7.5.9

重写为正弦和余弦的形式，然后约去公因式。

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解题步骤 7.5.9.1

添加圆括号。

$- \frac{8 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 8 x^{2} (\cot (x) \sin (x)) + 16 x \cos (x) \cot (x)$

解题步骤 7.5.9.2

将 $- 8 x^{2} \cot (x) \sin (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$- \frac{8 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 8 x^{2} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x)) + 16 x \cos (x) \cot (x)$

解题步骤 7.5.9.3

约去公因数。

$- \frac{8 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 8 x^{2} \cos (x) + 16 x \cos (x) \cot (x)$

解题步骤 7.5.10

将 $\cot (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$- \frac{8 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 8 x^{2} \cos (x) + 16 x \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 7.5.11

乘以 $16 x \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 。

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解题步骤 7.5.11.1

组合 $16$ 和 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 。

$- \frac{8 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 8 x^{2} \cos (x) + x \cos (x) \frac{16 \cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 7.5.11.2

组合 $\frac{16 \cos (x)}{\sin (x)}$ 和 $x$ 。

$- \frac{8 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 \cos (x) x}{\sin (x)} \cos (x)$

解题步骤 7.5.11.3

组合 $\frac{16 \cos (x) x}{\sin (x)}$ 和 $\cos (x)$ 。

$- \frac{8 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 \cos (x) x \cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 7.5.11.4

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{8 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x (\cos^{1} (x) \cos (x))}{\sin (x)}$

解题步骤 7.5.11.5

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{8 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{\sin (x)}$

解题步骤 7.5.11.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{8 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)}$

解题步骤 7.5.11.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{8 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 7.6

化简每一项。

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解题步骤 7.6.1

从 $\sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$- \frac{8 \cos (x) x^{2}}{\sin (x) \sin (x)} - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 7.6.2

分离分数。

$- (\frac{8 x^{2}}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 7.6.3

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 转换成 $\cot (x)$ 。

$- (\frac{8 x^{2}}{\sin (x)} \cot (x)) - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 7.6.4

组合 $\frac{8 x^{2}}{\sin (x)}$ 和 $\cot (x)$ 。

$- \frac{8 x^{2} \cot (x)}{\sin (x)} - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 7.6.5

分离分数。

$- (\frac{8 x^{2}}{1} \cdot \frac{\cot (x)}{\sin (x)}) - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 7.6.6

将 $\cot (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$- (\frac{8 x^{2}}{1} \cdot \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\sin (x)}) - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 7.6.7

将 $\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\sin (x)}$ 重写为乘积形式。

$- (\frac{8 x^{2}}{1} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)})) - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 7.6.8

化简。

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解题步骤 7.6.8.1

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 转换成 $\cot (x)$ 。

$- (\frac{8 x^{2}}{1} (\cot (x) \frac{1}{\sin (x)})) - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 7.6.8.2

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 转换成 $\csc (x)$ 。

$- (\frac{8 x^{2}}{1} (\cot (x) \csc (x))) - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 7.6.9

用 $8 x^{2}$ 除以 $1$ 。

$- (8 x^{2} (\cot (x) \csc (x))) - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 7.6.10

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$- 8 (x^{2} (\cot (x) \csc (x))) - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 7.6.11

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$- 8 x^{2} (\cot (x) \csc (x)) - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x (\cos (x) \cos (x))}{\sin (x)}$

解题步骤 7.6.12

分离分数。

$- 8 x^{2} (\cot (x) \csc (x)) - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x (\cos (x))}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 7.6.13

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 转换成 $\cot (x)$ 。

$- 8 x^{2} (\cot (x) \csc (x)) - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x (\cos (x))}{1} \cot (x)$

解题步骤 7.6.14

用 $16 x (\cos (x))$ 除以 $1$ 。

$- 8 x^{2} (\cot (x) \csc (x)) - 8 x^{2} \cos (x) + 16 x (\cos (x)) \cot (x)$

$- 8 x^{2} \cot (x) \csc (x) - 8 x^{2} \cos (x) + 16 x (\cos (x)) \cot (x)$

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