微积分学示例

$y = 9 e^{- x} + e^{4 x}$

解题步骤 1

根据加法法则， $9 e^{- x} + e^{4 x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [9 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [9 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [9 e^{- x}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 e^{- x}$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 。

$9 \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $- x$ 。

$9 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

解题步骤 2.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$9 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

解题步骤 2.2.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$9 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

解题步骤 2.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$9 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$9 (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

解题步骤 2.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$9 (e^{- x} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

解题步骤 2.6

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$9 (- 1 \cdot e^{- x}) + \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

解题步骤 2.7

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$9 (- e^{- x}) + \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

解题步骤 2.8

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$- 9 e^{- x} + \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ 。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 4 x$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $4 x$ 。

$- 9 e^{- x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 3.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$- 9 e^{- x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 3.1.3

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- 9 e^{- x} + e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 3.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 9 e^{- x} + e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 9 e^{- x} + e^{4 x} (4 \cdot 1)$

解题步骤 3.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$- 9 e^{- x} + e^{4 x} \cdot 4$

解题步骤 3.5

将 $4$ 移到 $e^{4 x}$ 的左侧。

$- 9 e^{- x} + 4 e^{4 x}$

解题步骤 4

重新排序项。

$4 e^{4 x} - 9 e^{- x}$

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