微积分学示例

$y = \cos (\frac{x}{x - 1})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = \frac{x}{x - 1}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x}{x - 1}$ 。

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 1}]$

解题步骤 1.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 1}]$

解题步骤 1.3

使用 $\frac{x}{x - 1}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 1}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{(x - 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2

将 $x - 1$ 乘以 $1$ 。

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{x - 1 - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{x - 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{x - 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{x - 1 - x (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.6

化简项。

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解题步骤 3.6.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{x - 1 - x \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.6.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{x - 1 - x}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.6.3

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{0 - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.6.4

化简表达式。

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解题步骤 3.6.4.1

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{- 1}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.6.4.2

将负号移到分数的前面。

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) (- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}})$

解题步骤 3.6.4.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.6.4.4

将 $\sin (\frac{x}{x - 1})$ 乘以 $1$ 。

$\sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.6.5

组合 $\sin (\frac{x}{x - 1})$ 和 $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ 。

$\frac{\sin (\frac{x}{x - 1})}{{(x - 1)}^{2}}$

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