微积分学示例

$y = \cos (\frac{x - 1}{x + 1})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x - 1}{x + 1}$ 。

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}]$

解题步骤 1.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}]$

解题步骤 1.3

使用 $\frac{x - 1}{x + 1}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \sin (\frac{x - 1}{x + 1}) \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x - 1$ 且 $g (x) = x + 1$ 。

$- \sin (\frac{x - 1}{x + 1}) \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$- \sin (\frac{x - 1}{x + 1}) \frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \sin (\frac{x - 1}{x + 1}) \frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \sin (\frac{x - 1}{x + 1}) \frac{(x + 1) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4

化简表达式。

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解题步骤 3.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$- \sin (\frac{x - 1}{x + 1}) \frac{(x + 1) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.2

将 $x + 1$ 乘以 $1$ 。

$- \sin (\frac{x - 1}{x + 1}) \frac{x + 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.5

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$- \sin (\frac{x - 1}{x + 1}) \frac{x + 1 - (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \sin (\frac{x - 1}{x + 1}) \frac{x + 1 - (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.7

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \sin (\frac{x - 1}{x + 1}) \frac{x + 1 - (x - 1) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.8

合并分数。

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解题步骤 3.8.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$- \sin (\frac{x - 1}{x + 1}) \frac{x + 1 - (x - 1) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.8.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \sin (\frac{x - 1}{x + 1}) \frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.8.3

组合 $\frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}}$ 和 $\sin (\frac{x - 1}{x + 1})$ 。

$- \frac{(x + 1 - (x - 1)) \sin (\frac{x - 1}{x + 1})}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$- \frac{(x + 1 - x - - 1) \sin (\frac{x - 1}{x + 1})}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.2

化简分子。

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解题步骤 4.2.1

合并 $x + 1 - x - - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 4.2.1.1

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$- \frac{(0 + 1 - - 1) \sin (\frac{x - 1}{x + 1})}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{(1 - - 1) \sin (\frac{x - 1}{x + 1})}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{(1 + 1) \sin (\frac{x - 1}{x + 1})}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.2.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{2 \sin (\frac{x - 1}{x + 1})}{{(x + 1)}^{2}}$

微积分学 示例

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