微积分学示例

$y = \arctan (\frac{e^{2 x}}{3})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arctan (x)$ 且 $g (x) = \frac{e^{2 x}}{3}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\frac{e^{2 x}}{3}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{3}]$

解题步骤 1.2

$\arctan (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ 。

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{3}]$

解题步骤 1.3

使用 $\frac{e^{2 x}}{3}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{3}]$

解题步骤 2

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 2.1

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{e^{2 x}}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ 。

$\frac{1}{1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2}} (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

解题步骤 2.2

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2}}$ 。

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 x$ 。

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 3.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

组合 $e^{2 x}$ 和 $\frac{1}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})}$ 。

$\frac{e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 4.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} (2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.3

组合 $2$ 和 $\frac{e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})}$ 。

$\frac{2 e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2 e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} \cdot 1$

解题步骤 4.5

将 $\frac{2 e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

对 $\frac{e^{2 x}}{3}$ 运用乘积法则。

$\frac{2 e^{2 x}}{3 (1 + \frac{{(e^{2 x})}^{2}}{3^{2}})}$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$\frac{2 e^{2 x}}{3 \cdot 1 + 3 \frac{{(e^{2 x})}^{2}}{3^{2}}}$

解题步骤 5.3

合并项。

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解题步骤 5.3.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + 3 \frac{{(e^{2 x})}^{2}}{3^{2}}}$

解题步骤 5.3.2

将 ${(e^{2 x})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + 3 \frac{e^{2 x \cdot 2}}{3^{2}}}$

解题步骤 5.3.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + 3 \frac{e^{4 x}}{3^{2}}}$

解题步骤 5.3.3

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + 3 \frac{e^{4 x}}{9}}$

解题步骤 5.3.4

组合 $3$ 和 $\frac{e^{4 x}}{9}$ 。

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + \frac{3 e^{4 x}}{9}}$

解题步骤 5.3.5

约去 $3$ 和 $9$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.5.1

从 $3 e^{4 x}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + \frac{3 (e^{4 x})}{9}}$

解题步骤 5.3.5.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.5.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + \frac{3 e^{4 x}}{3 \cdot 3}}$

解题步骤 5.3.5.2.2

约去公因数。

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + \frac{3 e^{4 x}}{3 \cdot 3}}$

解题步骤 5.3.5.2.3

重写表达式。

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + \frac{e^{4 x}}{3}}$

解题步骤 5.4

化简分母。

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解题步骤 5.4.1

要将 $3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2 e^{2 x}}{3 \cdot \frac{3}{3} + \frac{e^{4 x}}{3}}$

解题步骤 5.4.2

组合 $3$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2 e^{2 x}}{\frac{3 \cdot 3}{3} + \frac{e^{4 x}}{3}}$

解题步骤 5.4.3

在公分母上合并分子。

$\frac{2 e^{2 x}}{\frac{3 \cdot 3 + e^{4 x}}{3}}$

解题步骤 5.4.4

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2 e^{2 x}}{\frac{9 + e^{4 x}}{3}}$

解题步骤 5.5

将分子乘以分母的倒数。

$2 e^{2 x} \frac{3}{9 + e^{4 x}}$

解题步骤 5.6

乘以 $2 e^{2 x} \frac{3}{9 + e^{4 x}}$ 。

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解题步骤 5.6.1

组合 $\frac{3}{9 + e^{4 x}}$ 和 $2$ 。

$\frac{3 \cdot 2}{9 + e^{4 x}} e^{2 x}$

解题步骤 5.6.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{6}{9 + e^{4 x}} e^{2 x}$

解题步骤 5.6.3

组合 $\frac{6}{9 + e^{4 x}}$ 和 $e^{2 x}$ 。

$\frac{6 e^{2 x}}{9 + e^{4 x}}$

微积分学 示例

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