微积分学示例

$y = arccsc (\frac{x}{2})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = arccsc (x)$ 且 $g (x) = \frac{x}{2}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x}{2}$ 。

$\frac{d}{d u} [arccsc (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

解题步骤 1.2

$arccsc (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ 。

$- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

解题步骤 1.3

使用 $\frac{x}{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{\frac{x}{2} \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

解题步骤 2

组合 $\frac{x}{2}$ 和 $\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}$ 。

$- \frac{1}{\frac{x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

解题步骤 3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}{2}$ 。

$- (1 \frac{2}{x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

解题步骤 4

将 $\frac{2}{x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{2}{x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

解题步骤 5

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{2}{x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6

化简项。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{2}{x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}$ 。

$- \frac{2}{2 (x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1})} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 6.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1

约去公因数。

$- \frac{2}{2 x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 6.2.2

重写表达式。

$- \frac{1}{x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{1}{x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}} \cdot 1$

解题步骤 8

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

对 $\frac{x}{2}$ 运用乘积法则。

$- \frac{1}{x \sqrt{\frac{x^{2}}{2^{2}} - 1}}$

解题步骤 9.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{1}{x \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - 1}}$

微积分学 示例

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