微积分学示例

$y = \cos (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = \frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}}]$

解题步骤 1.2

$\cos (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $- \sin (u_{1})$ 。

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}}]$

解题步骤 1.3

使用 $\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}}) \frac{d}{d x} [\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1 - e^{9 x}$ 且 $g (x) = 1 + e^{9 x}$ 。

$- \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}}) \frac{(1 + e^{9 x}) \frac{d}{d x} [1 - e^{9 x}] - (1 - e^{9 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{9 x}]}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $1 - e^{9 x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{9 x}]$ 。

$- \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}}) \frac{(1 + e^{9 x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{9 x}]) - (1 - e^{9 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{9 x}]}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 3.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}}) \frac{(1 + e^{9 x}) (0 + \frac{d}{d x} [- e^{9 x}]) - (1 - e^{9 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{9 x}]}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- e^{9 x}]$ 相加。

$- \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}}) \frac{(1 + e^{9 x}) \frac{d}{d x} [- e^{9 x}] - (1 - e^{9 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{9 x}]}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 3.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- e^{9 x}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [e^{9 x}]$ 。

$- \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}}) \frac{(1 + e^{9 x}) (- \frac{d}{d x} [e^{9 x}]) - (1 - e^{9 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{9 x}]}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 9 x$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $9 x$ 。

$- \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}}) \frac{(1 + e^{9 x}) (- (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [9 x])) - (1 - e^{9 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{9 x}]}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$- \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}}) \frac{(1 + e^{9 x}) (- (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [9 x])) - (1 - e^{9 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{9 x}]}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 4.3

使用 $9 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}}) \frac{(1 + e^{9 x}) (- (e^{9 x} \frac{d}{d x} [9 x])) - (1 - e^{9 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{9 x}]}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}}) \frac{(1 + e^{9 x}) (- e^{9 x} (9 \frac{d}{d x} [x])) - (1 - e^{9 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{9 x}]}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 5.2

将 $9$ 乘以 $- 1$ 。

$- \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}}) \frac{(1 + e^{9 x}) (- 9 e^{9 x} \frac{d}{d x} [x]) - (1 - e^{9 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{9 x}]}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}}) \frac{(1 + e^{9 x}) (- 9 e^{9 x} \cdot 1) - (1 - e^{9 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{9 x}]}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 5.4

将 $- 9$ 乘以 $1$ 。

$- \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}}) \frac{(1 + e^{9 x}) (- 9 e^{9 x}) - (1 - e^{9 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{9 x}]}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 5.5

根据加法法则， $1 + e^{9 x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{9 x}]$ 。

$- \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}}) \frac{(1 + e^{9 x}) (- 9 e^{9 x}) - (1 - e^{9 x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{9 x}])}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 5.6

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}}) \frac{(1 + e^{9 x}) (- 9 e^{9 x}) - (1 - e^{9 x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{9 x}])}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 5.7

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [e^{9 x}]$ 相加。

$- \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}}) \frac{(1 + e^{9 x}) (- 9 e^{9 x}) - (1 - e^{9 x}) \frac{d}{d x} [e^{9 x}]}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 9 x$ 。

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解题步骤 6.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $9 x$ 。

$- \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}}) \frac{(1 + e^{9 x}) (- 9 e^{9 x}) - (1 - e^{9 x}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [9 x])}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 6.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ 等于 $a^{u_{3}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$- \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}}) \frac{(1 + e^{9 x}) (- 9 e^{9 x}) - (1 - e^{9 x}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [9 x])}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 6.3

使用 $9 x$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$- \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}}) \frac{(1 + e^{9 x}) (- 9 e^{9 x}) - (1 - e^{9 x}) (e^{9 x} \frac{d}{d x} [9 x])}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 7

求微分。

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解题步骤 7.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}}) \frac{(1 + e^{9 x}) (- 9 e^{9 x}) - (1 - e^{9 x}) (e^{9 x} (9 \frac{d}{d x} [x]))}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 7.2

将 $9$ 乘以 $- 1$ 。

$- \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}}) \frac{(1 + e^{9 x}) (- 9 e^{9 x}) - 9 (1 - e^{9 x}) (e^{9 x} (\frac{d}{d x} [x]))}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 7.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}}) \frac{(1 + e^{9 x}) (- 9 e^{9 x}) - 9 (1 - e^{9 x}) (e^{9 x} \cdot 1)}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 7.4

合并分数。

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解题步骤 7.4.1

将 $e^{9 x}$ 乘以 $1$ 。

$- \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}}) \frac{(1 + e^{9 x}) (- 9 e^{9 x}) - 9 (1 - e^{9 x}) e^{9 x}}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 7.4.2

组合 $\frac{(1 + e^{9 x}) (- 9 e^{9 x}) - 9 (1 - e^{9 x}) e^{9 x}}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$ 和 $\sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}})$ 。

$- \frac{((1 + e^{9 x}) (- 9 e^{9 x}) - 9 (1 - e^{9 x}) e^{9 x}) \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

运用分配律。

$- \frac{(1 (- 9 e^{9 x}) + e^{9 x} (- 9 e^{9 x}) - 9 (1 - e^{9 x}) e^{9 x}) \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 8.2

运用分配律。

$- \frac{(1 (- 9 e^{9 x}) + e^{9 x} (- 9 e^{9 x}) + (- 9 \cdot 1 - 9 (- e^{9 x})) e^{9 x}) \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 8.3

运用分配律。

$- \frac{(1 (- 9 e^{9 x}) + e^{9 x} (- 9 e^{9 x}) - 9 \cdot 1 e^{9 x} - 9 (- e^{9 x}) e^{9 x}) \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 8.4

化简分子。

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解题步骤 8.4.1

化简每一项。

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解题步骤 8.4.1.1

将 $- 9 e^{9 x}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{(- 9 e^{9 x} + e^{9 x} (- 9 e^{9 x}) - 9 \cdot 1 e^{9 x} - 9 (- e^{9 x}) e^{9 x}) \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 8.4.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$- \frac{(- 9 e^{9 x} - 9 e^{9 x} e^{9 x} - 9 \cdot 1 e^{9 x} - 9 (- e^{9 x}) e^{9 x}) \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 8.4.1.3

通过指数相加将 $e^{9 x}$ 乘以 $e^{9 x}$ 。

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解题步骤 8.4.1.3.1

移动 $e^{9 x}$ 。

$- \frac{(- 9 e^{9 x} - 9 (e^{9 x} e^{9 x}) - 9 \cdot 1 e^{9 x} - 9 (- e^{9 x}) e^{9 x}) \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 8.4.1.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{(- 9 e^{9 x} - 9 e^{9 x + 9 x} - 9 \cdot 1 e^{9 x} - 9 (- e^{9 x}) e^{9 x}) \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 8.4.1.3.3

将 $9 x$ 和 $9 x$ 相加。

$- \frac{(- 9 e^{9 x} - 9 e^{18 x} - 9 \cdot 1 e^{9 x} - 9 (- e^{9 x}) e^{9 x}) \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 8.4.1.4

将 $- 9$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{(- 9 e^{9 x} - 9 e^{18 x} - 9 e^{9 x} - 9 (- e^{9 x}) e^{9 x}) \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 8.4.1.5

通过指数相加将 $e^{9 x}$ 乘以 $e^{9 x}$ 。

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解题步骤 8.4.1.5.1

移动 $e^{9 x}$ 。

$- \frac{(- 9 e^{9 x} - 9 e^{18 x} - 9 e^{9 x} - 9 (- (e^{9 x} e^{9 x}))) \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 8.4.1.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{(- 9 e^{9 x} - 9 e^{18 x} - 9 e^{9 x} - 9 (- e^{9 x + 9 x})) \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 8.4.1.5.3

将 $9 x$ 和 $9 x$ 相加。

$- \frac{(- 9 e^{9 x} - 9 e^{18 x} - 9 e^{9 x} - 9 (- e^{18 x})) \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 8.4.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 9$ 。

$- \frac{(- 9 e^{9 x} - 9 e^{18 x} - 9 e^{9 x} + 9 e^{18 x}) \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 8.4.2

合并 $- 9 e^{9 x} - 9 e^{18 x} - 9 e^{9 x} + 9 e^{18 x}$ 中相反的项。

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解题步骤 8.4.2.1

将 $- 9 e^{18 x}$ 和 $9 e^{18 x}$ 相加。

$- \frac{(- 9 e^{9 x} + 0 - 9 e^{9 x}) \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 8.4.2.2

将 $- 9 e^{9 x}$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{(- 9 e^{9 x} - 9 e^{9 x}) \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 8.4.3

从 $- 9 e^{9 x}$ 中减去 $9 e^{9 x}$ 。

$- \frac{- 18 e^{9 x} \sin (\frac{1 - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 8.4.4

化简分子。

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解题步骤 8.4.4.1

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$- \frac{- 18 e^{9 x} \sin (\frac{1^{3} - e^{9 x}}{1 + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 8.4.4.2

将 $e^{9 x}$ 重写为 ${(e^{3 x})}^{3}$ 。

$- \frac{- 18 e^{9 x} \sin (\frac{1^{3} - {(e^{3 x})}^{3}}{1 + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 8.4.4.3

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = e^{3 x}$ 。

$- \frac{- 18 e^{9 x} \sin (\frac{(1 - e^{3 x}) (1^{2} + 1 e^{3 x} + {(e^{3 x})}^{2})}{1 + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 8.4.4.4

化简。

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解题步骤 8.4.4.4.1

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$- \frac{- 18 e^{9 x} \sin (\frac{(1^{3} - e^{3 x}) (1^{2} + 1 e^{3 x} + {(e^{3 x})}^{2})}{1 + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 8.4.4.4.2

将 $e^{3 x}$ 重写为 ${(e^{x})}^{3}$ 。

$- \frac{- 18 e^{9 x} \sin (\frac{(1^{3} - {(e^{x})}^{3}) (1^{2} + 1 e^{3 x} + {(e^{3 x})}^{2})}{1 + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 8.4.4.4.3

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = e^{x}$ 。

$- \frac{- 18 e^{9 x} \sin (\frac{(1 - e^{x}) (1^{2} + 1 e^{x} + {(e^{x})}^{2}) (1^{2} + 1 e^{3 x} + {(e^{3 x})}^{2})}{1 + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 8.4.4.4.4

化简。

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解题步骤 8.4.4.4.4.1

一的任意次幂都为一。

$- \frac{- 18 e^{9 x} \sin (\frac{(1 - e^{x}) (1 + 1 e^{x} + {(e^{x})}^{2}) (1^{2} + 1 e^{3 x} + {(e^{3 x})}^{2})}{1 + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 8.4.4.4.4.2

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{- 18 e^{9 x} \sin (\frac{(1 - e^{x}) (1 + e^{x} + {(e^{x})}^{2}) (1^{2} + 1 e^{3 x} + {(e^{3 x})}^{2})}{1 + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 8.4.4.4.4.3

将 ${(e^{x})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 8.4.4.4.4.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{- 18 e^{9 x} \sin (\frac{(1 - e^{x}) (1 + e^{x} + e^{x \cdot 2}) (1^{2} + 1 e^{3 x} + {(e^{3 x})}^{2})}{1 + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 8.4.4.4.4.3.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$- \frac{- 18 e^{9 x} \sin (\frac{(1 - e^{x}) (1 + e^{x} + e^{2 x}) (1^{2} + 1 e^{3 x} + {(e^{3 x})}^{2})}{1 + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 8.4.4.4.5

将 $e^{3 x}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{- 18 e^{9 x} \sin (\frac{(1 - e^{x}) (1 + e^{x} + e^{2 x}) (1^{2} + e^{3 x} + {(e^{3 x})}^{2})}{1 + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 8.4.4.5

化简每一项。

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解题步骤 8.4.4.5.1

一的任意次幂都为一。

$- \frac{- 18 e^{9 x} \sin (\frac{(1 - e^{x}) (1 + e^{x} + e^{2 x}) (1 + e^{3 x} + {(e^{3 x})}^{2})}{1 + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 8.4.4.5.2

将 ${(e^{3 x})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 8.4.4.5.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{- 18 e^{9 x} \sin (\frac{(1 - e^{x}) (1 + e^{x} + e^{2 x}) (1 + e^{3 x} + e^{3 x \cdot 2})}{1 + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 8.4.4.5.2.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{- 18 e^{9 x} \sin (\frac{(1 - e^{x}) (1 + e^{x} + e^{2 x}) (1 + e^{3 x} + e^{6 x})}{1 + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 8.4.5

化简分母。

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解题步骤 8.4.5.1

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$- \frac{- 18 e^{9 x} \sin (\frac{(1 - e^{x}) (1 + e^{x} + e^{2 x}) (1 + e^{3 x} + e^{6 x})}{1^{3} + e^{9 x}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 8.4.5.2

将 $e^{9 x}$ 重写为 ${(e^{3 x})}^{3}$ 。

$- \frac{- 18 e^{9 x} \sin (\frac{(1 - e^{x}) (1 + e^{x} + e^{2 x}) (1 + e^{3 x} + e^{6 x})}{1^{3} + {(e^{3 x})}^{3}})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 8.4.5.3

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = e^{3 x}$ 。

$- \frac{- 18 e^{9 x} \sin (\frac{(1 - e^{x}) (1 + e^{x} + e^{2 x}) (1 + e^{3 x} + e^{6 x})}{(1 + e^{3 x}) (1^{2} - 1 e^{3 x} + {(e^{3 x})}^{2})})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 8.4.5.4

化简。

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解题步骤 8.4.5.4.1

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$- \frac{- 18 e^{9 x} \sin (\frac{(1 - e^{x}) (1 + e^{x} + e^{2 x}) (1 + e^{3 x} + e^{6 x})}{(1^{3} + e^{3 x}) (1^{2} - 1 e^{3 x} + {(e^{3 x})}^{2})})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 8.4.5.4.2

将 $e^{3 x}$ 重写为 ${(e^{x})}^{3}$ 。

$- \frac{- 18 e^{9 x} \sin (\frac{(1 - e^{x}) (1 + e^{x} + e^{2 x}) (1 + e^{3 x} + e^{6 x})}{(1^{3} + {(e^{x})}^{3}) (1^{2} - 1 e^{3 x} + {(e^{3 x})}^{2})})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 8.4.5.4.3

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = e^{x}$ 。

$- \frac{- 18 e^{9 x} \sin (\frac{(1 - e^{x}) (1 + e^{x} + e^{2 x}) (1 + e^{3 x} + e^{6 x})}{(1 + e^{x}) (1^{2} - 1 e^{x} + {(e^{x})}^{2}) (1^{2} - 1 e^{3 x} + {(e^{3 x})}^{2})})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 8.4.5.4.4

化简。

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解题步骤 8.4.5.4.4.1

一的任意次幂都为一。

$- \frac{- 18 e^{9 x} \sin (\frac{(1 - e^{x}) (1 + e^{x} + e^{2 x}) (1 + e^{3 x} + e^{6 x})}{(1 + e^{x}) (1 - 1 e^{x} + {(e^{x})}^{2}) (1^{2} - 1 e^{3 x} + {(e^{3 x})}^{2})})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 8.4.5.4.4.2

将 $- 1 e^{x}$ 重写为 $- e^{x}$ 。

$- \frac{- 18 e^{9 x} \sin (\frac{(1 - e^{x}) (1 + e^{x} + e^{2 x}) (1 + e^{3 x} + e^{6 x})}{(1 + e^{x}) (1 - e^{x} + {(e^{x})}^{2}) (1^{2} - 1 e^{3 x} + {(e^{3 x})}^{2})})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 8.4.5.4.4.3

将 ${(e^{x})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 8.4.5.4.4.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{- 18 e^{9 x} \sin (\frac{(1 - e^{x}) (1 + e^{x} + e^{2 x}) (1 + e^{3 x} + e^{6 x})}{(1 + e^{x}) (1 - e^{x} + e^{x \cdot 2}) (1^{2} - 1 e^{3 x} + {(e^{3 x})}^{2})})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 8.4.5.4.4.3.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$- \frac{- 18 e^{9 x} \sin (\frac{(1 - e^{x}) (1 + e^{x} + e^{2 x}) (1 + e^{3 x} + e^{6 x})}{(1 + e^{x}) (1 - e^{x} + e^{2 x}) (1^{2} - 1 e^{3 x} + {(e^{3 x})}^{2})})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 8.4.5.4.4.4

重新排序项。

$- \frac{- 18 e^{9 x} \sin (\frac{(1 - e^{x}) (1 + e^{x} + e^{2 x}) (1 + e^{3 x} + e^{6 x})}{(1 + e^{x}) (1 + e^{2 x} - e^{x}) (1^{2} - 1 e^{3 x} + {(e^{3 x})}^{2})})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 8.4.5.4.5

一的任意次幂都为一。

$- \frac{- 18 e^{9 x} \sin (\frac{(1 - e^{x}) (1 + e^{x} + e^{2 x}) (1 + e^{3 x} + e^{6 x})}{(1 + e^{x}) (1 + e^{2 x} - e^{x}) (1 - 1 e^{3 x} + {(e^{3 x})}^{2})})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 8.4.5.4.6

将 $- 1 e^{3 x}$ 重写为 $- e^{3 x}$ 。

$- \frac{- 18 e^{9 x} \sin (\frac{(1 - e^{x}) (1 + e^{x} + e^{2 x}) (1 + e^{3 x} + e^{6 x})}{(1 + e^{x}) (1 + e^{2 x} - e^{x}) (1 - e^{3 x} + {(e^{3 x})}^{2})})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 8.4.5.4.7

将 ${(e^{3 x})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 8.4.5.4.7.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{- 18 e^{9 x} \sin (\frac{(1 - e^{x}) (1 + e^{x} + e^{2 x}) (1 + e^{3 x} + e^{6 x})}{(1 + e^{x}) (1 + e^{2 x} - e^{x}) (1 - e^{3 x} + e^{3 x \cdot 2})})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 8.4.5.4.7.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{- 18 e^{9 x} \sin (\frac{(1 - e^{x}) (1 + e^{x} + e^{2 x}) (1 + e^{3 x} + e^{6 x})}{(1 + e^{x}) (1 + e^{2 x} - e^{x}) (1 - e^{3 x} + e^{6 x})})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 8.4.5.4.8

重新排序项。

$- \frac{- 18 e^{9 x} \sin (\frac{(1 - e^{x}) (1 + e^{x} + e^{2 x}) (1 + e^{3 x} + e^{6 x})}{(1 + e^{x}) (1 + e^{2 x} - e^{x}) (1 + e^{6 x} - e^{3 x})})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 8.5

合并项。

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解题步骤 8.5.1

将负号移到分数的前面。

$- - \frac{18 e^{9 x} \sin (\frac{(1 - e^{x}) (1 + e^{x} + e^{2 x}) (1 + e^{3 x} + e^{6 x})}{(1 + e^{x}) (1 + e^{2 x} - e^{x}) (1 + e^{6 x} - e^{3 x})})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 8.5.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{18 e^{9 x} \sin (\frac{(1 - e^{x}) (1 + e^{x} + e^{2 x}) (1 + e^{3 x} + e^{6 x})}{(1 + e^{x}) (1 + e^{2 x} - e^{x}) (1 + e^{6 x} - e^{3 x})})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

解题步骤 8.5.3

将 $\frac{18 e^{9 x} \sin (\frac{(1 - e^{x}) (1 + e^{x} + e^{2 x}) (1 + e^{3 x} + e^{6 x})}{(1 + e^{x}) (1 + e^{2 x} - e^{x}) (1 + e^{6 x} - e^{3 x})})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{18 e^{9 x} \sin (\frac{(1 - e^{x}) (1 + e^{x} + e^{2 x}) (1 + e^{3 x} + e^{6 x})}{(1 + e^{x}) (1 + e^{2 x} - e^{x}) (1 + e^{6 x} - e^{3 x})})}{{(1 + e^{9 x})}^{2}}$

微积分学 示例

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