微积分学示例

$y = \cos ({(π x)}^{4})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = {(π x)}^{4}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 ${(π x)}^{4}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(π x)}^{4}]$

解题步骤 1.2

$\cos (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $- \sin (u_{1})$ 。

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [{(π x)}^{4}]$

解题步骤 1.3

使用 ${(π x)}^{4}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- \sin ({(π x)}^{4}) \frac{d}{d x} [{(π x)}^{4}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = π x$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $π x$ 。

$- \sin ({(π x)}^{4}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [π x])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- \sin ({(π x)}^{4}) (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [π x])$

解题步骤 2.3

使用 $π x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \sin ({(π x)}^{4}) (4 {(π x)}^{3} \frac{d}{d x} [π x])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 4 \sin ({(π x)}^{4}) ({(π x)}^{3} \frac{d}{d x} [π x])$

解题步骤 3.2

因为 $π$ 对于 $x$ 是常数，所以 $π x$ 对 $x$ 的导数是 $π \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 4 \sin ({(π x)}^{4}) ({(π x)}^{3} (π \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 4 \sin ({(π x)}^{4}) ({(π x)}^{3} π \cdot 1)$

解题步骤 3.4

将 ${(π x)}^{3}$ 乘以 $1$ 。

$- 4 \sin ({(π x)}^{4}) ({(π x)}^{3} π)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

对 $π x$ 运用乘积法则。

$- 4 \sin (π^{4} x^{4}) ({(π x)}^{3} π)$

解题步骤 4.2

对 $π x$ 运用乘积法则。

$- 4 \sin (π^{4} x^{4}) (π^{3} x^{3} π)$

解题步骤 4.3

合并项。

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解题步骤 4.3.1

对 $π$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 4 \sin (π^{4} x^{4}) (x^{3} (π^{3} π^{1}))$

解题步骤 4.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 4 \sin (π^{4} x^{4}) (x^{3} π^{3 + 1})$

解题步骤 4.3.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$- 4 \sin (π^{4} x^{4}) (x^{3} π^{4})$

解题步骤 4.4

重新排序 $- 4 \sin (π^{4} x^{4}) (x^{3} π^{4})$ 的因式。

$- 4 π^{4} x^{3} \sin (π^{4} x^{4})$

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