微积分学示例

$y = \arctan (\ln (x))$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arctan (x)$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\ln (x)$ 。

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 1.2

$\arctan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 。

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 1.3

使用 $\ln (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{1 + \ln^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{1 + \ln^{2} (x)} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 3

将 $\frac{1}{1 + \ln^{2} (x)}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{(1 + \ln^{2} (x)) x}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\frac{1}{1 x + \ln^{2} (x) x}$

解题步骤 4.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{x + \ln^{2} (x) x}$

解题步骤 4.3

重新排序项。

$\frac{1}{x \ln^{2} (x) + x}$

解题步骤 4.4

从 $x \ln^{2} (x) + x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 4.4.1

从 $x \ln^{2} (x)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{1}{x (\ln^{2} (x)) + x}$

解题步骤 4.4.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{x (\ln^{2} (x)) + x^{1}}$

解题步骤 4.4.3

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{1}{x (\ln^{2} (x)) + x \cdot 1}$

解题步骤 4.4.4

从 $x (\ln^{2} (x)) + x \cdot 1$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{1}{x (\ln^{2} (x) + 1)}$

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