微积分学示例

$y = \arctan (\frac{x}{4}) - \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}$

解题步骤 1

根据加法法则， $\arctan (\frac{x}{4}) - \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{x}{4})] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{x}{4})] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{x}{4})]$ 。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arctan (x)$ 且 $g (x) = \frac{x}{4}$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\frac{x}{4}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$

解题步骤 2.1.2

$\arctan (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ 。

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$

解题步骤 2.1.3

使用 $\frac{x}{4}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}} (\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}} (\frac{1}{4} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$

解题步骤 2.4

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}} \cdot \frac{1}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$

解题步骤 2.5

将 $\frac{1}{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{1}{(1 + {(\frac{x}{4})}^{2}) \cdot 4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$

解题步骤 2.6

将 $4$ 移到 $1 + {(\frac{x}{4})}^{2}$ 的左侧。

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- \frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 16}]$ 。

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 16}]$

解题步骤 3.2

将 $\frac{1}{x^{2} + 16}$ 重写为 ${(x^{2} + 16)}^{- 1}$ 。

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{- 1}]$

解题步骤 3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{2} + 16$ 。

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解题步骤 3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x^{2} + 16$ 。

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} - \frac{1}{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} - \frac{1}{2} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])$

解题步骤 3.3.3

使用 $x^{2} + 16$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} - \frac{1}{2} (- {(x^{2} + 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])$

解题步骤 3.4

根据加法法则， $x^{2} + 16$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ 。

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} - \frac{1}{2} (- {(x^{2} + 16)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]))$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} - \frac{1}{2} (- {(x^{2} + 16)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [16]))$

解题步骤 3.6

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $16$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} - \frac{1}{2} (- {(x^{2} + 16)}^{- 2} (2 x + 0))$

解题步骤 3.7

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} - \frac{1}{2} (- {(x^{2} + 16)}^{- 2} (2 x))$

解题步骤 3.8

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} - \frac{1}{2} (- 2 {(x^{2} + 16)}^{- 2} x)$

解题步骤 3.9

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} + 2 (\frac{1}{2}) ({(x^{2} + 16)}^{- 2} x)$

解题步骤 3.10

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} + \frac{2}{2} ({(x^{2} + 16)}^{- 2} x)$

解题步骤 3.11

组合 ${(x^{2} + 16)}^{- 2}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} + \frac{{(x^{2} + 16)}^{- 2} \cdot 2}{2} x$

解题步骤 3.12

组合 $\frac{{(x^{2} + 16)}^{- 2} \cdot 2}{2}$ 和 $x$ 。

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} + \frac{{(x^{2} + 16)}^{- 2} \cdot 2 x}{2}$

解题步骤 3.13

将 $2$ 移到 ${(x^{2} + 16)}^{- 2}$ 的左侧。

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} + \frac{2 \cdot {(x^{2} + 16)}^{- 2} x}{2}$

解题步骤 3.14

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} + 16)}^{- 2}$ 移动到分母。

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} + \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 3.15

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.15.1

约去公因数。

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} + \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 3.15.2

重写表达式。

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

对 $\frac{x}{4}$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{4 (1 + \frac{x^{2}}{4^{2}})} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$\frac{1}{4 \cdot 1 + 4 \frac{x^{2}}{4^{2}}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 4.3

合并项。

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解题步骤 4.3.1

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4 + 4 \frac{x^{2}}{4^{2}}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 4.3.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{4 + 4 \frac{x^{2}}{16}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 4.3.3

组合 $4$ 和 $\frac{x^{2}}{16}$ 。

$\frac{1}{4 + \frac{4 x^{2}}{16}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 4.3.4

约去 $4$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.4.1

从 $4 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{4 + \frac{4 (x^{2})}{16}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 4.3.4.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.4.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{4 + \frac{4 x^{2}}{4 \cdot 4}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 4.3.4.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{4 + \frac{4 x^{2}}{4 \cdot 4}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 4.3.4.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{4 + \frac{x^{2}}{4}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 4.3.5

要将 $\frac{1}{4 + \frac{x^{2}}{4}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ 。

$\frac{1}{4 + \frac{x^{2}}{4}} \cdot \frac{{(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{2}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 4.3.6

要将 $\frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4 + \frac{x^{2}}{4}}{4 + \frac{x^{2}}{4}}$ 。

$\frac{1}{4 + \frac{x^{2}}{4}} \cdot \frac{{(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{2}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{4 + \frac{x^{2}}{4}}{4 + \frac{x^{2}}{4}}$

解题步骤 4.3.7

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(4 + \frac{x^{2}}{4}) {(x^{2} + 16)}^{2}$ 的形式。

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解题步骤 4.3.7.1

将 $\frac{1}{4 + \frac{x^{2}}{4}}$ 乘以 $\frac{{(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ 。

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2}}{(4 + \frac{x^{2}}{4}) {(x^{2} + 16)}^{2}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{4 + \frac{x^{2}}{4}}{4 + \frac{x^{2}}{4}}$

解题步骤 4.3.7.2

将 $\frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ 乘以 $\frac{4 + \frac{x^{2}}{4}}{4 + \frac{x^{2}}{4}}$ 。

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2}}{(4 + \frac{x^{2}}{4}) {(x^{2} + 16)}^{2}} + \frac{x (4 + \frac{x^{2}}{4})}{{(x^{2} + 16)}^{2} (4 + \frac{x^{2}}{4})}$

解题步骤 4.3.7.3

重新排序 $(4 + \frac{x^{2}}{4}) {(x^{2} + 16)}^{2}$ 的因式。

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{2} (4 + \frac{x^{2}}{4})} + \frac{x (4 + \frac{x^{2}}{4})}{{(x^{2} + 16)}^{2} (4 + \frac{x^{2}}{4})}$

解题步骤 4.3.8

在公分母上合并分子。

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} + x (4 + \frac{x^{2}}{4})}{{(x^{2} + 16)}^{2} (4 + \frac{x^{2}}{4})}$

微积分学 示例

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