微积分学示例

$y = - 6 x {(3 x - 1)}^{2}$

解题步骤 1

将 ${(3 x - 1)}^{2}$ 重写为 $(3 x - 1) (3 x - 1)$ 。

$\frac{d}{d x} [- 6 x ((3 x - 1) (3 x - 1))]$

解题步骤 2

使用 FOIL 方法展开 $(3 x - 1) (3 x - 1)$ 。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [- 6 x (3 x (3 x - 1) - 1 (3 x - 1))]$

解题步骤 2.2

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [- 6 x (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x - 1))]$

解题步骤 2.3

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [- 6 x (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1)]$

解题步骤 3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d}{d x} [- 6 x (3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1)]$

解题步骤 3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [- 6 x (3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1)]$

解题步骤 3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [- 6 x (3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1)]$

解题步骤 3.1.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{d}{d x} [- 6 x (9 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1)]$

解题步骤 3.1.4

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{d}{d x} [- 6 x (9 x^{2} - 3 x - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1)]$

解题步骤 3.1.5

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d}{d x} [- 6 x (9 x^{2} - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1)]$

解题步骤 3.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d}{d x} [- 6 x (9 x^{2} - 3 x - 3 x + 1)]$

解题步骤 3.2

从 $- 3 x$ 中减去 $3 x$ 。

$\frac{d}{d x} [- 6 x (9 x^{2} - 6 x + 1)]$

解题步骤 4

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x (9 x^{2} - 6 x + 1)$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x (9 x^{2} - 6 x + 1)]$ 。

$- 6 \frac{d}{d x} [x (9 x^{2} - 6 x + 1)]$

解题步骤 5

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = 9 x^{2} - 6 x + 1$ 。

$- 6 (x \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 6 x + 1] + (9 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6

求微分。

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解题步骤 6.1

根据加法法则， $9 x^{2} - 6 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$- 6 (x (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (9 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6.2

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- 6 (x (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (9 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 6 (x (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (9 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6.4

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$- 6 (x (18 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (9 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6.5

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 6 (x (18 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (9 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 6 (x (18 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (9 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6.7

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$- 6 (x (18 x - 6 + \frac{d}{d x} [1]) + (9 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6.8

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 6 (x (18 x - 6 + 0) + (9 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6.9

将 $18 x - 6$ 和 $0$ 相加。

$- 6 (x (18 x - 6) + (9 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 6 (x (18 x - 6) + (9 x^{2} - 6 x + 1) \cdot 1)$

解题步骤 6.11

将 $9 x^{2} - 6 x + 1$ 乘以 $1$ 。

$- 6 (x (18 x - 6) + 9 x^{2} - 6 x + 1)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$- 6 (x (18 x) + x \cdot - 6 + 9 x^{2} - 6 x + 1)$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$- 6 (x (18 x)) - 6 (x \cdot - 6) - 6 (9 x^{2}) - 6 (- 6 x) - 6 \cdot 1$

解题步骤 7.3

合并项。

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解题步骤 7.3.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 6 (18 (x^{1} x)) - 6 (x \cdot - 6) - 6 (9 x^{2}) - 6 (- 6 x) - 6 \cdot 1$

解题步骤 7.3.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 6 (18 (x^{1} x^{1})) - 6 (x \cdot - 6) - 6 (9 x^{2}) - 6 (- 6 x) - 6 \cdot 1$

解题步骤 7.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 6 (18 x^{1 + 1}) - 6 (x \cdot - 6) - 6 (9 x^{2}) - 6 (- 6 x) - 6 \cdot 1$

解题步骤 7.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 6 (18 x^{2}) - 6 (x \cdot - 6) - 6 (9 x^{2}) - 6 (- 6 x) - 6 \cdot 1$

解题步骤 7.3.5

将 $18$ 乘以 $- 6$ 。

$- 108 x^{2} - 6 (x \cdot - 6) - 6 (9 x^{2}) - 6 (- 6 x) - 6 \cdot 1$

解题步骤 7.3.6

将 $- 6$ 移到 $x$ 的左侧。

$- 108 x^{2} - 6 (- 6 \cdot x) - 6 (9 x^{2}) - 6 (- 6 x) - 6 \cdot 1$

解题步骤 7.3.7

将 $- 6$ 乘以 $- 6$ 。

$- 108 x^{2} + 36 x - 6 (9 x^{2}) - 6 (- 6 x) - 6 \cdot 1$

解题步骤 7.3.8

将 $9$ 乘以 $- 6$ 。

$- 108 x^{2} + 36 x - 54 x^{2} - 6 (- 6 x) - 6 \cdot 1$

解题步骤 7.3.9

从 $- 108 x^{2}$ 中减去 $54 x^{2}$ 。

$- 162 x^{2} + 36 x - 6 (- 6 x) - 6 \cdot 1$

解题步骤 7.3.10

将 $- 6$ 乘以 $- 6$ 。

$- 162 x^{2} + 36 x + 36 x - 6 \cdot 1$

解题步骤 7.3.11

将 $36 x$ 和 $36 x$ 相加。

$- 162 x^{2} + 72 x - 6 \cdot 1$

解题步骤 7.3.12

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$- 162 x^{2} + 72 x - 6$

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