微积分学示例

$y = 6 x^{2} (4 x^{5} - 7 x^{2})$

解题步骤 1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x^{2} (4 x^{5} - 7 x^{2})$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x^{2} (4 x^{5} - 7 x^{2})]$ 。

$6 \frac{d}{d x} [x^{2} (4 x^{5} - 7 x^{2})]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = 4 x^{5} - 7 x^{2}$ 。

$6 (x^{2} \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 7 x^{2}] + (4 x^{5} - 7 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $4 x^{5} - 7 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ 。

$6 (x^{2} (\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]) + (4 x^{5} - 7 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$6 (x^{2} (4 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]) + (4 x^{5} - 7 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$6 (x^{2} (4 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]) + (4 x^{5} - 7 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.4

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$6 (x^{2} (20 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]) + (4 x^{5} - 7 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.5

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$6 (x^{2} (20 x^{4} - 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (4 x^{5} - 7 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$6 (x^{2} (20 x^{4} - 7 (2 x)) + (4 x^{5} - 7 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.7

将 $2$ 乘以 $- 7$ 。

$6 (x^{2} (20 x^{4} - 14 x) + (4 x^{5} - 7 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$6 (x^{2} (20 x^{4} - 14 x) + (4 x^{5} - 7 x^{2}) (2 x))$

解题步骤 3.9

将 $2$ 移到 $4 x^{5} - 7 x^{2}$ 的左侧。

$6 (x^{2} (20 x^{4} - 14 x) + 2 \cdot (4 x^{5} - 7 x^{2}) x)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$6 (x^{2} (20 x^{4}) + x^{2} (- 14 x) + 2 (4 x^{5} - 7 x^{2}) x)$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$6 (x^{2} (20 x^{4}) + x^{2} (- 14 x) + (2 (4 x^{5}) + 2 (- 7 x^{2})) x)$

解题步骤 4.3

运用分配律。

$6 (x^{2} (20 x^{4}) + x^{2} (- 14 x) + 2 (4 x^{5}) x + 2 (- 7 x^{2}) x)$

解题步骤 4.4

运用分配律。

$6 (x^{2} (20 x^{4})) + 6 (x^{2} (- 14 x)) + 6 (2 (4 x^{5}) x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

解题步骤 4.5

合并项。

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解题步骤 4.5.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 4.5.1.1

移动 $x^{4}$ 。

$6 (x^{4} x^{2} \cdot 20) + 6 (x^{2} (- 14 x)) + 6 (2 (4 x^{5}) x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

解题步骤 4.5.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$6 (x^{4 + 2} \cdot 20) + 6 (x^{2} (- 14 x)) + 6 (2 (4 x^{5}) x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

解题步骤 4.5.1.3

将 $4$ 和 $2$ 相加。

$6 (x^{6} \cdot 20) + 6 (x^{2} (- 14 x)) + 6 (2 (4 x^{5}) x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

解题步骤 4.5.2

将 $20$ 移到 $x^{6}$ 的左侧。

$6 (20 \cdot x^{6}) + 6 (x^{2} (- 14 x)) + 6 (2 (4 x^{5}) x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

解题步骤 4.5.3

将 $20$ 乘以 $6$ 。

$120 x^{6} + 6 (x^{2} (- 14 x)) + 6 (2 (4 x^{5}) x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

解题步骤 4.5.4

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.5.4.1

移动 $x$ 。

$120 x^{6} + 6 (x \cdot x^{2} \cdot - 14) + 6 (2 (4 x^{5}) x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

解题步骤 4.5.4.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.5.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$120 x^{6} + 6 (x^{1} x^{2} \cdot - 14) + 6 (2 (4 x^{5}) x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

解题步骤 4.5.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$120 x^{6} + 6 (x^{1 + 2} \cdot - 14) + 6 (2 (4 x^{5}) x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

解题步骤 4.5.4.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$120 x^{6} + 6 (x^{3} \cdot - 14) + 6 (2 (4 x^{5}) x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

解题步骤 4.5.5

将 $- 14$ 移到 $x^{3}$ 的左侧。

$120 x^{6} + 6 (- 14 \cdot x^{3}) + 6 (2 (4 x^{5}) x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

解题步骤 4.5.6

将 $- 14$ 乘以 $6$ 。

$120 x^{6} - 84 x^{3} + 6 (2 (4 x^{5}) x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

解题步骤 4.5.7

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$120 x^{6} - 84 x^{3} + 6 (8 x^{5} x) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

解题步骤 4.5.8

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$120 x^{6} - 84 x^{3} + 6 (8 (x^{1} x^{5})) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

解题步骤 4.5.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$120 x^{6} - 84 x^{3} + 6 (8 x^{1 + 5}) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

解题步骤 4.5.10

将 $1$ 和 $5$ 相加。

$120 x^{6} - 84 x^{3} + 6 (8 x^{6}) + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

解题步骤 4.5.11

将 $8$ 乘以 $6$ 。

$120 x^{6} - 84 x^{3} + 48 x^{6} + 6 (2 (- 7 x^{2}) x)$

解题步骤 4.5.12

将 $- 7$ 乘以 $2$ 。

$120 x^{6} - 84 x^{3} + 48 x^{6} + 6 (- 14 x^{2} x)$

解题步骤 4.5.13

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$120 x^{6} - 84 x^{3} + 48 x^{6} + 6 (- 14 (x^{1} x^{2}))$

解题步骤 4.5.14

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$120 x^{6} - 84 x^{3} + 48 x^{6} + 6 (- 14 x^{1 + 2})$

解题步骤 4.5.15

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$120 x^{6} - 84 x^{3} + 48 x^{6} + 6 (- 14 x^{3})$

解题步骤 4.5.16

将 $- 14$ 乘以 $6$ 。

$120 x^{6} - 84 x^{3} + 48 x^{6} - 84 x^{3}$

解题步骤 4.5.17

将 $120 x^{6}$ 和 $48 x^{6}$ 相加。

$168 x^{6} - 84 x^{3} - 84 x^{3}$

解题步骤 4.5.18

从 $- 84 x^{3}$ 中减去 $84 x^{3}$ 。

$168 x^{6} - 168 x^{3}$

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