微积分学示例

$y = 7 \cot^{4} (\frac{1}{7} x)$

解题步骤 1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1

组合 $\frac{1}{7}$ 和 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [7 \cot^{4} (\frac{x}{7})]$

解题步骤 1.2

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 \cot^{4} (\frac{x}{7})$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [\cot^{4} (\frac{x}{7})]$ 。

$7 \frac{d}{d x} [\cot^{4} (\frac{x}{7})]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = \cot (\frac{x}{7})$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\cot (\frac{x}{7})$ 。

$7 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\cot (\frac{x}{7})])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$7 (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\cot (\frac{x}{7})])$

解题步骤 2.3

使用 $\cot (\frac{x}{7})$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$7 (4 \cot^{3} (\frac{x}{7}) \frac{d}{d x} [\cot (\frac{x}{7})])$

解题步骤 3

将 $4$ 乘以 $7$ 。

$28 (\cot^{3} (\frac{x}{7}) \frac{d}{d x} [\cot (\frac{x}{7})])$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cot (x)$ 且 $g (x) = \frac{x}{7}$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\frac{x}{7}$ 。

$28 \cot^{3} (\frac{x}{7}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{7}])$

解题步骤 4.2

$\cot (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \csc^{2} (u_{2})$ 。

$28 \cot^{3} (\frac{x}{7}) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{7}])$

解题步骤 4.3

使用 $\frac{x}{7}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$28 \cot^{3} (\frac{x}{7}) (- \csc^{2} (\frac{x}{7}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{7}])$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

将 $- 1$ 乘以 $28$ 。

$- 28 \cot^{3} (\frac{x}{7}) (\csc^{2} (\frac{x}{7}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{7}])$

解题步骤 5.2

因为 $\frac{1}{7}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{7}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{7} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 28 \cot^{3} (\frac{x}{7}) \csc^{2} (\frac{x}{7}) (\frac{1}{7} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5.3

化简项。

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解题步骤 5.3.1

组合 $\frac{1}{7}$ 和 $- 28$ 。

$\frac{- 28}{7} \cot^{3} (\frac{x}{7}) \csc^{2} (\frac{x}{7}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.3.2

组合 $\frac{- 28}{7}$ 和 $\cot^{3} (\frac{x}{7})$ 。

$\frac{- 28 \cot^{3} (\frac{x}{7})}{7} \csc^{2} (\frac{x}{7}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.3.3

组合 $\frac{- 28 \cot^{3} (\frac{x}{7})}{7}$ 和 $\csc^{2} (\frac{x}{7})$ 。

$\frac{- 28 \cot^{3} (\frac{x}{7}) \csc^{2} (\frac{x}{7})}{7} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.3.4

约去 $- 28$ 和 $7$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.4.1

从 $- 28 \cot^{3} (\frac{x}{7}) \csc^{2} (\frac{x}{7})$ 中分解出因数 $7$ 。

$\frac{7 (- 4 \cot^{3} (\frac{x}{7}) \csc^{2} (\frac{x}{7}))}{7} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.3.4.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.4.2.1

从 $7$ 中分解出因数 $7$ 。

$\frac{7 (- 4 \cot^{3} (\frac{x}{7}) \csc^{2} (\frac{x}{7}))}{7 (1)} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.3.4.2.2

约去公因数。

$\frac{7 (- 4 \cot^{3} (\frac{x}{7}) \csc^{2} (\frac{x}{7}))}{7 \cdot 1} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.3.4.2.3

重写表达式。

$\frac{- 4 \cot^{3} (\frac{x}{7}) \csc^{2} (\frac{x}{7})}{1} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.3.4.2.4

用 $- 4 \cot^{3} (\frac{x}{7}) \csc^{2} (\frac{x}{7})$ 除以 $1$ 。

$- 4 \cot^{3} (\frac{x}{7}) \csc^{2} (\frac{x}{7}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 4 \cot^{3} (\frac{x}{7}) \csc^{2} (\frac{x}{7}) \cdot 1$

解题步骤 5.5

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$- 4 \cot^{3} (\frac{x}{7}) \csc^{2} (\frac{x}{7})$

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