微积分学示例

$y = \sin (\sqrt{2 x})$

解题步骤 1

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 x}$ 重写成 ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\sin ({(2 x)}^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 1.2

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [\sin ({(2 (x))}^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 1.3

对 $2 (x)$ 运用乘积法则。

$\frac{d}{d x} [\sin (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.3

使用 $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $2^{\frac{1}{2}}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

解题步骤 4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

解题步骤 5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

解题步骤 7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

解题步骤 8

将负号移到分数的前面。

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

解题步骤 9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (2^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 10

组合 $2^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 11

化简表达式。

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解题步骤 11.1

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $2^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

解题步骤 11.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12

通过指数相加将 $2$ 乘以 $2^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 12.1

将 $2$ 乘以 $2^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 12.1.1

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.3

在公分母上合并分子。

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 13

组合 $\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$ 和 $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{\cos (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

微积分学 示例

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