微积分学示例

$y = \sec (x) (x - \tan (x))$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sec (x)$ 且 $g (x) = x - \tan (x)$ 。

$\sec (x) \frac{d}{d x} [x - \tan (x)] + (x - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x - \tan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ 。

$\sec (x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]) + (x - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\sec (x) (1 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]) + (x - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

解题步骤 2.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \tan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ 。

$\sec (x) (1 - \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + (x - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

解题步骤 3

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$\sec (x) (1 - \sec^{2} (x)) + (x - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

解题步骤 4

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$\sec (x) (1 - \sec^{2} (x)) + (x - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x))$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + (x - \tan (x)) \sec (x) \tan (x)$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + (x \sec (x) - \tan (x) \sec (x)) \tan (x)$

解题步骤 5.3

运用分配律。

$\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + x \sec (x) \tan (x) - \tan (x) \sec (x) \tan (x)$

解题步骤 5.4

合并项。

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解题步骤 5.4.1

将 $\sec (x)$ 乘以 $1$ 。

$\sec (x) + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + x \sec (x) \tan (x) - \tan (x) \sec (x) \tan (x)$

解题步骤 5.4.2

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sec (x) - (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x)) + x \sec (x) \tan (x) - \tan (x) \sec (x) \tan (x)$

解题步骤 5.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sec (x) - {\sec (x)}^{1 + 2} + x \sec (x) \tan (x) - \tan (x) \sec (x) \tan (x)$

解题步骤 5.4.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\sec (x) - \sec^{3} (x) + x \sec (x) \tan (x) - \tan (x) \sec (x) \tan (x)$

解题步骤 5.4.5

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sec (x) - \sec^{3} (x) + x \sec (x) \tan (x) - (\tan^{1} (x) \tan (x)) \sec (x)$

解题步骤 5.4.6

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sec (x) - \sec^{3} (x) + x \sec (x) \tan (x) - (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) \sec (x)$

解题步骤 5.4.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sec (x) - \sec^{3} (x) + x \sec (x) \tan (x) - {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x)$

解题步骤 5.4.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sec (x) - \sec^{3} (x) + x \sec (x) \tan (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)$

解题步骤 5.5

重新排序项。

$x \sec (x) \tan (x) - \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec (x) - \sec^{3} (x)$

解题步骤 5.6

从 $x \sec (x) \tan (x) - \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec (x) - \sec^{3} (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

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解题步骤 5.6.1

从 $x \sec (x) \tan (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$\sec (x) (x \tan (x)) - \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec (x) - \sec^{3} (x)$

解题步骤 5.6.2

从 $- \tan^{2} (x) \sec (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$\sec (x) (x \tan (x)) + \sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) - \sec^{3} (x)$

解题步骤 5.6.3

乘以 $1$ 。

$\sec (x) (x \tan (x)) + \sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) \cdot 1 - \sec^{3} (x)$

解题步骤 5.6.4

从 $- \sec^{3} (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$\sec (x) (x \tan (x)) + \sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec^{2} (x))$

解题步骤 5.6.5

从 $\sec (x) (x \tan (x)) + \sec (x) (- \tan^{2} (x))$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x)) + \sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec^{2} (x))$

解题步骤 5.6.6

从 $\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x)) + \sec (x) \cdot 1$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) + 1) + \sec (x) (- \sec^{2} (x))$

解题步骤 5.6.7

从 $\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) + 1) + \sec (x) (- \sec^{2} (x))$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) + 1 - \sec^{2} (x))$

解题步骤 5.7

将 $1$ 和 $- \sec^{2} (x)$ 重新排序。

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) + 1)$

解题步骤 5.8

从 $- \sec^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) - (\sec^{2} (x)) + 1)$

解题步骤 5.9

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1)$

解题步骤 5.10

从 $- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) - (\sec^{2} (x) - 1))$

解题步骤 5.11

使用勾股恒等式。

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

解题步骤 5.12

从 $- \tan^{2} (x)$ 中减去 $\tan^{2} (x)$ 。

$\sec (x) (x \tan (x) - 2 \tan^{2} (x))$

解题步骤 5.13

运用分配律。

$\sec (x) (x \tan (x)) + \sec (x) (- 2 \tan^{2} (x))$

解题步骤 5.14

使用乘法的交换性质重写。

$\sec (x) x \tan (x) - 2 \sec (x) \tan^{2} (x)$

解题步骤 5.15

将 $\sec (x) x \tan (x) - 2 \sec (x) \tan^{2} (x)$ 中的因式重新排序。

$x \sec (x) \tan (x) - 2 \sec (x) \tan^{2} (x)$

微积分学 示例

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