微积分学示例

$y = \sec (\sin (x))$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sec (x)$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sin (x)$ 。

$\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.2

$\sec (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\sec (u) \tan (u)$ 。

$\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\sec (\sin (x)) \tan (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\sec (\sin (x)) \tan (\sin (x)) \cos (x)$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

重新排序 $\sec (\sin (x)) \tan (\sin (x)) \cos (x)$ 的因式。

$\cos (x) \sec (\sin (x)) \tan (\sin (x))$

解题步骤 3.2

将 $\sec (\sin (x))$ 重写为正弦和余弦形式。

$\cos (x) \frac{1}{\cos (\sin (x))} \tan (\sin (x))$

解题步骤 3.3

组合 $\cos (x)$ 和 $\frac{1}{\cos (\sin (x))}$ 。

$\frac{\cos (x)}{\cos (\sin (x))} \tan (\sin (x))$

解题步骤 3.4

将 $\tan (\sin (x))$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\cos (x)}{\cos (\sin (x))} \cdot \frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))}$

解题步骤 3.5

乘以 $\frac{\cos (x)}{\cos (\sin (x))} \cdot \frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))}$ 。

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解题步骤 3.5.1

将 $\frac{\cos (x)}{\cos (\sin (x))}$ 乘以 $\frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))}$ 。

$\frac{\cos (x) \sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x)) \cos (\sin (x))}$

解题步骤 3.5.2

对 $\cos (\sin (x))$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos (x) \sin (\sin (x))}{\cos^{1} (\sin (x)) \cos (\sin (x))}$

解题步骤 3.5.3

对 $\cos (\sin (x))$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos (x) \sin (\sin (x))}{\cos^{1} (\sin (x)) \cos^{1} (\sin (x))}$

解题步骤 3.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\cos (x) \sin (\sin (x))}{{\cos (\sin (x))}^{1 + 1}}$

解题步骤 3.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\cos (x) \sin (\sin (x))}{\cos^{2} (\sin (x))}$

解题步骤 3.6

从 $\cos^{2} (\sin (x))$ 中分解出因数 $\cos (\sin (x))$ 。

$\frac{\cos (x) \sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x)) \cos (\sin (x))}$

解题步骤 3.7

分离分数。

$\frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (\sin (x))}$

解题步骤 3.8

将 $\frac{\cos (x)}{\cos (\sin (x))}$ 重写为乘积形式。

$\frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))} (\cos (x) \frac{1}{\cos (\sin (x))})$

解题步骤 3.9

将 $\cos (x)$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (\sin (x))})$

解题步骤 3.10

化简。

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解题步骤 3.10.1

用 $\cos (x)$ 除以 $1$ 。

$\frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))} (\cos (x) \frac{1}{\cos (\sin (x))})$

解题步骤 3.10.2

将 $\frac{1}{\cos (\sin (x))}$ 转换成 $\sec (\sin (x))$ 。

$\frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))} (\cos (x) \sec (\sin (x)))$

解题步骤 3.11

将 $\frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))}$ 转换成 $\tan (\sin (x))$ 。

$\tan (\sin (x)) \cos (x) \sec (\sin (x))$

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