微积分学示例

$y = \log (\sqrt{x}) + \tan (x^{e})$

解题步骤 1

根据加法法则， $\log (\sqrt{x}) + \tan (x^{e})$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\log (\sqrt{x})] + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$ 。

$\frac{d}{d x} [\log (\sqrt{x})] + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [\log (\sqrt{x})]$ 。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\log (x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \log (x)$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\log (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

解题步骤 2.2.2

$\log (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1} \ln (10)}$ 。

$\frac{1}{u_{1} \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

解题步骤 2.2.3

使用 $x^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

解题步骤 2.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

解题步骤 2.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

解题步骤 2.6

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

解题步骤 2.7

化简分子。

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解题步骤 2.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

解题步骤 2.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

解题步骤 2.8

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

解题步骤 2.9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

解题步骤 2.10

将 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)}$ 乘以 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10) \cdot 2} + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

解题步骤 2.11

将 $2$ 移到 $x^{\frac{1}{2}} \ln (10)$ 的左侧。

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot (x^{\frac{1}{2}} \ln (10))} + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

解题步骤 2.12

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (10) x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

解题步骤 2.13

化简分母。

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解题步骤 2.13.1

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.13.1.1

移动 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \ln (10)} + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

解题步骤 2.13.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \ln (10)} + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

解题步骤 2.13.1.3

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1 + 1}{2}} \ln (10)} + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

解题步骤 2.13.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{2 x^{\frac{2}{2}} \ln (10)} + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

解题步骤 2.13.1.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{1}{2 x^{1} \ln (10)} + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

解题步骤 2.13.2

化简 $2 x^{1} \ln (10)$ 。

$\frac{1}{2 x \ln (10)} + \frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [\tan (x^{e})]$ 。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = x^{e}$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x^{e}$ 。

$\frac{1}{2 x \ln (10)} + \frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{e}]$

解题步骤 3.1.2

$\tan (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\sec^{2} (u_{2})$ 。

$\frac{1}{2 x \ln (10)} + \sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{e}]$

解题步骤 3.1.3

使用 $x^{e}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{2 x \ln (10)} + \sec^{2} (x^{e}) \frac{d}{d x} [x^{e}]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = e$ 。

$\frac{1}{2 x \ln (10)} + \sec^{2} (x^{e}) (e x^{e - 1})$

解题步骤 4

重新排序项。

$e x^{e - 1} \sec^{2} (x^{e}) + \frac{1}{2 x \ln (10)}$

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