微积分学示例

$y = \ln (x + 3) + \ln (5)$

解题步骤 1

根据加法法则， $\ln (x + 3) + \ln (5)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\ln (x + 3)] + \frac{d}{d x} [\ln (5)]$ 。

$\frac{d}{d x} [\ln (x + 3)] + \frac{d}{d x} [\ln (5)]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [\ln (x + 3)]$ 。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x + 3$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 3$ 。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 3] + \frac{d}{d x} [\ln (5)]$

解题步骤 2.1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 3] + \frac{d}{d x} [\ln (5)]$

解题步骤 2.1.3

使用 $x + 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x + 3] + \frac{d}{d x} [\ln (5)]$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{1}{x + 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [\ln (5)]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{x + 3} (1 + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [\ln (5)]$

解题步骤 2.4

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{x + 3} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\ln (5)]$

解题步骤 2.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{x + 3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (5)]$

解题步骤 2.6

将 $\frac{1}{x + 3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{x + 3} + \frac{d}{d x} [\ln (5)]$

解题步骤 3

使用常数法则求导。

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解题步骤 3.1

因为 $\ln (5)$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\ln (5)$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{x + 3} + 0$

解题步骤 3.2

将 $\frac{1}{x + 3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{x + 3}$

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